Question

Determine os valores reais de X que satisfaçam a expressão X < x^2 < 2x​

Answer 1

Resposta:

${\boxed{\boxed{\mathsf{S=x \in ]1;2[}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Observe que temos uma inequação mista, deste modo podemos primeiramete separa-la de modo a termos duas equações, matematicamente,

$x< x^2 <2x$

$\begin{cases} x < x^2 \\ x^2 <2x \end{cases}$

Resolvendo cada inequação separadamente teremos,

$x<x^2$ $~~\Rightarrow 0 <x^2 - x$

$x^2 - x>0$

$x(x - 1)>0 ~~~ \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = 1 \end{cases}$

Para as inequações do tipo $ax^2+bx+c>0$ (onde quer-se encontrar o intervalo para qual inequção é positiva) a solução sera dada por,

• $\boxed{\boxed{\mathsf{Sol: x \in ] - \infty; x_1[~\cup~ ]x_2; + \infty[}}}}$

Deste modo,

$\boxed{\boxed{\mathsf{Sol: x \in ] - \infty; 0[~\cup~ ]1; + \infty[}}}}$

Em relação a outra inequação, pode-se observar que,

$x^2 <2x$

$x^2-2x < 0$

$x(x-2) <0 ~~~\Rightarrow \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = 2 \end{cases}$

Agora, em relação as inequações do tipo $ax^2+bx+c <0$ (onde quer-se encontrar o intervalo para qual inequção é negativa) a solução sera,

• $\boxed{\boxed{\mathsf{Sol: x \in ]x_1 ; x_2[}}}}$

Deste modo,

$\boxed{\boxed{\mathsf{Sol: x \in ]0;2[}}}}$

A solução da inequação mista sera a intersecção das soluções obtidas anteriormente,

$\mathsf{S = ] - \infty; 0[~\cup~ ]1; + \infty[ ~\cap~ ]0;2[}$

$\mathsf{S = \Big(]-\infty; 0[~\cup~ ]1; + \infty[ \Big) ~\cap~ \green{]0;2[}}$

$\mathsf{S = \Big(]-\infty; 0[ \cap \green{]0;2[} \Big) ~ \bigcup ~ \Big(]1; + \infty[ \cap \green{]0;2[} \Big)}$

$\mathsf{S = \big{\phi} ~ \bigcup ~]1;2[}$

Solução:

$\large{\boxed{\boxed{\mathsf{S= x \in ]1;2[}}}}}$

Espero ter colaborado!