Question

Determine o valor de x para a sequência (5x+1,x+1,x-2) seja uma Pg decrescente

Answer 1

Condição para P.G. : $\frac{ a_{2} }{ a_{1} } = \frac{ a_{3} }{ a_{2} }$

$\frac{x+1}{5x+1} = \frac{x-2}{x+1}$

(x+1)(x+1) = (5x+1)(x-2)
x² +2x +1 = 5x² - 10x + x -2
5x² - x² -9x - 2x -2 -1 = 0 
4x² - 11x -3 = 0 

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 121 - 4.4.-3
Δ= 121 +48
Δ = 169 

x = $\frac{11+ \sqrt{169} }{2.4}$

x' = $\frac{11+13}{8} = 3$

x'' = $\frac{11-13}{8} = \frac{-2}{8} = \frac{-1}{4}$

Se x = 3, teremos a P.G. : (16, 4, 1) Q= $\frac{1}{4}$ , P.G. decrescente

Se x = $\frac{-1}{4}$ , temos a P.G. :
( $\frac{-1}{4} , \frac{3}{4} , \frac{-9}{4}$ ) Q= -3
P.G. oscilante

Resposta: x = 3

Answer 2

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Média Geométrica

$(5x+1,x+1,x-2)$

Aplicando a média geométrica, onde o quadrado do termo central é igual ao produto dos extremos, temos:

$(a _{1},a _{2},a _{3})$

$(a _{2}) ^{2}=( a_{1})(a _{3})$

$(x+1) ^{2}=(5x+1)(x-2)$

$4 x^{2} -11x-3=0$

Por Báskara encontramos as raízes

$x'=- \frac{1}{4} \left e \left x''=3$

Só nos serve x=3, pois a P.G. deve ser decrescente:

$(5x+1,x+1,x-2)$

$(5(3)+1,3+1,3-2)$

$P.G.(16,4,1)$