Question

Determine o intervalo onde a função f(x) =(2.x² - x - 1)/ (x² +1) é contínua. Alguém pode me ajudar ? o assunto é "Limites"

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \frac{2x {}^{2} - x - 1}{x {}^{2} + 1}$

Para verificar a continuidade, essa função deve cumprir três requisitos, são eles:

$\sf 1) \: f(x) \rightarrow definida \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2)\lim_{x\rightarrow a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\rightarrow a {}^{ - } }f(x) \\ \\ \sf 3) \lim_{x\rightarrow a } f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Por uma certa coisinha, não será necessário verificar nenhuma dessas restrições.

• De acordo com um tal Teorema, funções polinomiais, funções racionais, dentre outras são contínuas em todo o seu domínio, então:

$\begin{cases}\sf f(x) = ax {}^{2} + bx + c \\ \sf f(x) = ax + b \end{cases} \rightarrow \sf cont \acute{i}nuas \\ \\ \sf \frac{ax {}^{2} + bx + c} {ax + b} \rightarrow cont \acute{i}nua$

Ou seja, se temos uma função racional (divisão de funções polinomiais), sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio. Se você fizer uma analogia dessa função racional com a função que a questão fornece, vai perceber que são iguais, logo a tal função é continua em todo o seu domínio.

• A única coisa que poderia trazer a descontinuidade dessa função é expressão do seu denominador, pois se o mesmo for igual a "0", isso tornará a função indefinida, ou seja, descontínua. Analisando o denominador você notará que tem-se x²+1, ou seja, para qualquer valor de "x" substituído nessa expressão o número será elevado ao quadrado e sabemos que um número ao quadrado sempre será positivo mesmo que o valor de substituição seja negativo, por exemplo:

$\sf x = - 3 \: \: \: \: \: f(x) = x {}^{2} + 1 \\ \: \: \: \: \: \: \: \sf f ( - 3) = ( - 3) {}^{2} + 1 \: \: \\ \sf \sf f ( - 3) =9 + 1 \: \: \: \\ \sf f( - 3) = 10 \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto podemos afirmar que a função é contínua em todo o seu domínio, ou seja, o intervalo é:

$\boxed{\sf D = \{\sf x \in \mathbb{R} / -\infty < x < +\infty \}}$

Espero ter ajudado