Question

Determine m de modo que o valor máximo da função f(x)=(m+3)x²-8x-1 seja 3

Answer 1

A função quadrática tem o comportamento de uma parábola. Ou seja, para que ela tenha um ponto máximo, ela deve ter concavidade para baixo. O que determina a concavidade é o coeficiente de x²(no caso, m+3). Se o coeficiente for positivo, a parábola é para cima, se o coeficiente for negativo a parábola é para baixo. Como precisamos que a parábola seja para baixo, já temos uma informação:

m+3<0   -> m<-3

Para m menor que -3, sabemos que ela terá concavidade para baixo e consequentemente um valor máximo. Agora desejamos que este valor seja 3. O valor máximo da parábola está no seu vértice, que terá sempre coordenadas (-b/2a, -delta/4a). Isso quer dizer que quando x for igual -b/2a, a função terá seu valor máximo que será -delta/4a. Queremos que o valor máximo seja 3.

$\frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2(m+3)} = \frac{4}{m+3}$

Ou seja, quando x = -b/2a = 4/(m+3), f(x)=3 -> f(4/m+3)=3

$f(\frac{4}{m+3})=(m+3)(\frac{4}{m+3})^{2}-8*\frac{4}{m+3}-1=3 \\ \frac{16(m+3)}{(m+3)^{2}}-\frac{32}{m+3}=4 \\ \frac{16-32}{m+3}=4 \\ -16=4m+12 \\ -28 = 4m \\ m=-7$

Este resultado temos apenas um valor para m, mas se estivessemos feito -delta/4a = 3, teríamos achado uma equação de 2o grau para m, em que um dos valores é maior que -3, por isso é importante verificar que m tem que ser menor que menos 3, como fiz no começo. Bons estudos.