Question

Determine dois números, sabendo-se que o seu produto é 12.600,é que o seu MMC é igual a 6.300.Por favor mostrem a solução da questão

Answer 1

$\text{mmc}(a,b)\cdot\text{mdc}(a,b)=a\cdot b$

$6300\cdot\text{mdc}(a,b)=12600$

$\text{mdc}(a,b)=2$

Note que $\text{mmc}(a,b)=6300=2^2\times3^2\times5^2\times7$

Para que tenhamos $\text{mmc}(a,b)=6300$ e $\text{mdc}(a,b)=2$ um dos números deve conter $2^2$ em sua fatoração (digamos que seja $a$) e o outro apenas $2$

Além disso, temos $2$ possibilidades pra cada um dos fatores $3^2,5^2$ e $7$: pertencer ao número $a$ ou pertencer ao número $b$.

Desse modo, temos $2\cdot2\cdot2=8$ possibilidades:

$\bullet~a=2^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~b=2\times3^2\times5^2\times7~\hookrightarrow~(a,b)=(4,3150)$
$\bullet~a=2^2\times7~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~b=2\times3^2\times5^2~~~~~~\hookrightarrow~(a,b)=(28,450)$
$\bullet~a=2^2\times3^2~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~b=2\times5^2\times7~~~~~~~\hookrightarrow~(a,b)=(36,350)$
$\bullet~a=2^2\times5^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~b=2\times3^2\times7~~~~~~~\hookrightarrow~(a,b)=(100,126)$
$\bullet~a=2^2\times3^2\times7~~~~~~~~~~~~~~b=2\times5^2~~~~~~~~~~~~\hookrightarrow~(a,b)=(252,50)$
$\bullet~a=2^2\times5^2\times7~~~~~~~~~~~~~~b=2\times3^2~~~~~~~~~~~~\hookrightarrow~(a,b)=(700,18)$
$\bullet~a=2^2\times3^2\times5^2~~~~~~~~~~~~~b=2\times7~~~~~~~~~~~~~\hookrightarrow~(a,b)=(900,14)$
$\bullet~a=2^2\times3^2\times5^2\times7~~~~~~~~b=2~~~~~~~~~~~~~~~~~~\hookrightarrow~(a,b)=(6300,2)$