Question

Determine as equações da reta r que passa pelo ponto A(2, 0,−3) e tem a direção do vetor v= (3,2, 2)​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações vetoriais da reta que passa pelo ponto "A" e possui a direção do vetor "v"  e as suas equações paramétricas, são respectivamente:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (2, 0, -3) + \lambda(3, 2, 2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: \Large\begin{cases} x = 2 + 3\lambda\\y = 2\lambda\\z = -3 + 2\lambda\end{cases}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} A(2, 0, 3)\\\vec{v} = (3, 2, 2)\end{cases}$

Já que nos foi dado um ponto e um vetor diretor, então devemos encontrar uma das equações vetoriais da reta. Neste caso, fazemos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \overrightarrow{AP} = \lambda\vec{v}\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} P - A = \lambda\vec{v}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = A + \lambda\vec{v},\:\:\:\textrm{com}\:\:\lambda\in\mathbb{R}\:\:e\:\:\vec{v} \neq \vec{0}\end{gathered}$

Substituindo os valores nesta última equação, temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (2, 0, -3) + \lambda(3, 2, 2)\end{gathered}$

✅ Portanto, uma das equações vetoriais é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: (x, y, z) = (2, 0, -3) + \lambda(3, 2, 2)\end{gathered}$

A partir da equação vetorial, podemos também definir as equações paramétricas que são:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \Large\begin{cases} x = 2 + 3\lambda\\y = 2\lambda\\z = -3 + 2\lambda\end{cases}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$