Question

Determine a P.A em que o 20 termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650.

Answer 1

Sabemos que:
$a_{20} = 2 \\ S_{50} = 650$

A fórmula que determina a soma dos n primeiros termos de uma PA é:
$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) . n}{2}$

Portanto:
$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) . n}{2} \\ 650 = \frac{( a_{1} + a_{50}). 50}{2} \\ 650 . 2 = ( a_{1} + a_{50}). 50} \\ 1300 = ( a_{1} + a_{50}). 50} \\ \frac{1300}{50} = a_{1} + a_{50} \\ a_{1} + a_{50} = 26$
(I)

Para encontramos a razão desta P.A. devemos considerar o seguinte:
A razão R de uma P.A. é o valor que somado ao fator anterior dessa P.A. resultará no próximo. Assim, se adicionarmos a razão R a $a_{1}$ ele passará a ser o $a_{2}$ da P.A..
Portanto, podemos dizer que:
$a_{1} + R = a_{2} \\ a_{1} + 2R = a_{3} \\ ... \\ a_{1} + nR = a_{n+1}$

Foi informado que o valor do 20° termo desta P.A. é 2, sendo assim:

$a_{1} + 19R = a_{20} \\ a_{1} + 19R = 2$
(II)

$a_{1} + a_{50} = 26 \\ a_{1} + ( a_{1} + 49R) = 26 \\ 2 a_{1} + 49R = 26$
(III)

Temos então duas equações, basta evidenciarmos o R para encontrar o valor da razão desta P.A.. Para isso irei multiplicar a primeira equação (II) por - 2 para que possamos realizar a soma entre elas e encontrar R.

$a_{1} + 19R = 2 .(-2) \\ -2a_{1} - 38R = - 4 \\ \\ (2a_{1} + 49R = 26) + (-2a_{1} - 38R = - 4) \\ 2a_{1} - 2a_{1} + 49R - 38R = 26 - 4 \\ 49R - 38R = 26 - 4 \\ 11R = 22 \\ R = \frac{22}{11} \\ R = 2$

Portanto, agora que sabemos que a razão dessa P.A. vale 2, podemos voltar qualquer uma das equações com R encontradas para substituirmos seu valor e encontrarmos o $a_{1}$ e determinarmos a P.A..

$a_{1} + 19R = 2 \\ a_{1} + 19.(2) = 2 \\ a_{1} + 38 = 2 \\ a_{1} = 2 - 38 \\ a_{1} = - 36$

Portanto, o primeiro termo desta P.A. é - 36. Sabendo disso, basta somar a ele a razão R para encontrar os termos seguintes da P.A.

$PA = \left \{ {{} \right. -36; -34; - 32; -30; -28; -26; -24;-22;-20;-18;-16;-14; \\ -12;-10;-8;-6;-4;-2;0;+2;+4;+6;+8;+10;... \left \} {} \right.$