Question

Determine a medida do lado do quadrado da
figura abaixo. ( Assunto: Semelhança de triângulos, imagem em anexo, gabarito: 12/5 )

Answer 1

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Observe a figura em anexo a esta resposta.

Considere que a medida do lado do quadrado  PBQM  é  x.

Os triângulos  APM  e  MQC  são semelhantes. Logo, temos uma proporção entre lados correspondentes:

     $\mathsf{\dfrac{med(\overline{AP})}{med(\overline{PM})}=\dfrac{med(\overline{MQ})}{med(\overline{QC})}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{4-x}{x}=\dfrac{x}{6-x}}$


O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

     $\mathsf{(4-x)\cdot (6-x)=x\cdot x}$


Expandido os produtos para eliminar os parênteses,

     $\mathsf{(4-x)\cdot 6-(4-x)\cdot x=x^2}\\\\ \mathsf{24-6x-4x+x^2=x^2}\\\\ \mathsf{24-10x+x^2=x^2}\\\\ \mathsf{24=\diagup\!\!\!\! x^2+10x-\diagup\!\!\!\! x^2}\\\\ \mathsf{24=10x}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{24}{10}}$


Simplificando a fração,
  
     $\mathsf{x=\dfrac{24}{10}}\begin{array}{c}^{\mathsf{\div 2}}\\^{\mathsf{\div 2}} \end{array}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{12}{5}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


O lado do quadrado mede  $\mathsf{\dfrac{12}{5}}$  unidades de comprimento.


Bons estudos! :-)