Question

Determine a lei da função quadrática f sabendo que f(0)=1, f(1)= 3 e f(-1)= 1

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Answer 1

Uma função quadrática (2° grau), na sua forma reduzida, é dada na seguinte forma:

$\boxed{f(x) = ax^2+bx+c}$

O enunciado então nos apresenta 3 pares ordenados ( x , f(x) ):

--> (0 , 1)

--> (1 , 3)

--> (-1 , 1)

Vamos substituir cada um destes pares ordenados no modelo de função, para, determinar o valor dos coeficientes "a", "b" e "c".

$\underline{Para~~(0 , 1)}:\\\\\\f(0)~=~a\,.\,(0)^2+b\,.\,(0)+c\\\\\\1~=~0+0+c\\\\\\\boxed{c~=~1}\\\\\\\\\underline{Para~~(1 , 3)}:\\\\\\f(1)~=~a\,.\,(1)^2+b\,.\,(1)~+~c\\\\\\3~=~a\,.\,1+b+1\\\\\\a+b~=~3-1\\\\\\\boxed{a+b~=~2}\\\\\\\\\underline{Para~~(-1 , 1)}:\\\\\\f(-1)~=~a\,.\,(-1)^2+b\,.\,(-1)~+~c\\\\\\1~=~a\,.\,1-b+1\\\\\\a-b~=~1-1\\\\\\\boxed{a-b~=~0}$

Perceba que foram achadas duas equações com duas incógnitas ("a" e "b"), ou seja, temos um sistema de equações. Podemos resolver este sistema utilizando qualquer método conhecido, vou fazer utilizando o método da adição.

$\left\{\begin{array}{ccc}a+b&=&2\\a-b&=&0\end{array}\right\\\\\\Somando\!-\!se~as~duas~equacoes:\\\\\\(a+b)+(a-b)~=~2+0\\\\\\a+b+a-b~=~2\\\\\\2a~=~2\\\\\\a~=~\frac{2}{2}\\\\\\\boxed{a~=~1}\\\\\\Substituindo~o~valor~de~"a"~em~uma~das~equacoes~para~achar~"b":\\\\\\a+b~=~2\\\\\\1+b~=~2\\\\\\b~=~2-1\\\\\\\boxed{b~=~1}$

Por fim, basta "montarmos" a função substituindo os coeficientes no modelo já apresentado:

$f(x)~=~ax^2+bx+c\\\\\\f(x)~=~1\,.\,x^2+1\,.\,b+1\\\\\\\boxed{f(x)~=~x^2+x+1}$