Question

Determine a inversa das matrizes se existir

Obs : gostaria de um passo a passo

Answer 1

a)

$det(a) = \binom{4 \: \: \: \: \: 3}{1 \: \: \: \: \: 1} = 4 - 3 = 1$

Como o determinante é diferente de zero, então existe uma matriz inversa para a matriz dada.

A × A^-1 = I

$\binom{4 \: \: \: \: \: 3}{1 \: \: \: \: \: 1} \times \binom{m \: \: \: \: \: n}{p \: \: \: \: \: q} = \binom{1 \: \: \: \: \: 0}{0 \: \: \: \: \: 1} \\ \binom{4m + 3p \: \: \: \: \: 4n + 3q}{m + p \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: n + q} = \binom{1 \: \: \: \: \: 0}{0 \: \: \: \: \: 1}$

Agora, montaremos dois sistemas de equações, igualando as matrizes:

4m + 3p = 1

m + p = 0 × (-3)

4m + 3p = 1

-3m - 3p = 0

m = 1

m + p = 0

1 + p = 0

p = 0 - 1

p = -1

4n + 3q = 0

n + q = 1 ×(-3)

4n + 3q = 0

-3n - 3q = -3

n = -3

n + q = 1

-3 + q = 1

q = 1 + 3

q = 4

Portanto, a matriz inversa de A é:

${a}^{ - 1} = \binom{1 \: \: \: \: \: - 3}{ - 1 \: \: \: \: \: 4}$

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b)

$det(b) = \binom{5 \: \: \: \: \: 3}{3 \: \: \: \: \: 2} = 10 - 9 = 1$

Como o determinante é diferente de zero, então a matriz é invertível.

B × B^-1 = I

$\binom{5 \: \: \: \: \: 3}{3 \: \: \: \: \: 2} \times \binom{x \: \: \: \: \: y}{w \: \: \: \: \: z} = \binom{1 \: \: \: \: \: 0}{0 \: \: \: \: \: 1} \\ \binom{5x + 3w \: \: \: \: \: 5y + 3z}{3x + 2w \: \: \: \: \: 3y + 2z} = \binom{1 \: \: \: \: \: 0}{0 \: \: \: \: \: 1}$

Igualando as matrizes, resolveremos dois sistemas de equações:

5x + 3w = 1 × 2

3x + 2w = 0 × (-3)

10x + 6w = 2

-9x - 6w = 0

x = 2

3x = -2w

3.2 = -2w

6 = -2w

2w = -6

w = -3

5y + 3z = 0 × (-2)

3y + 2z = 1 × 3

-10y - 6z = 0

9y + 6z = 3

-y = 3

y = -3

5y = -3z

5.(-3) = -3z

-15 = -3z

3z = 15

z = 5

Portanto, a matriz inversa de B é:

${b}^{ - 1} = \binom{2 \: \: \: \: \: - 3}{ - 3 \: \: \: \: \: 5}$