Matemática, perguntado por angelobazzo, 1 ano atrás

Determine a equação da reta que passa pelo ponto p (2;5) e tem uma inclinação de 60º

Soluções para a tarefa

Respondido por vailuquinha

Para resolver esse exercício pode-se utilizar a seguinte relação para elaborar a equação da reta:

$y-y'= m \cdot (x-x')$

Temos que o m(coeficiente angular) é igual a uma inclinação de 60º, isto é,

$tg 60 ^\circ= \sqrt{3}$

Como temos um ponto da equação [p (2;5)] podemos substituir os dados na equação mostrada inicialmente e encontrar a equação da reta. Assim:

$y-y'= m \cdot (x-x') \\ \\ y-5= \sqrt{3} \cdot (x-2) \\ \\ y= \sqrt{3} \cdot (x-2) + 5 \\ \\ \boxed{y= \sqrt{3} x -2 \sqrt{3} + 5}$

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta em sua forma reduzida é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: y = \sqrt{3}x + (5 - 2\sqrt{3})\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} A(2, 5)\\\theta = 60^{\circ}\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta devemos utilizar a forma fundamental da reta, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = m_{r}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{r} = \tan\theta\end{gathered}$}$

Então, podemos reescrever a equação "I", como sendo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = \tan\theta\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

Desta forma temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{\sin60^{\circ}}{\cos60^{\circ}}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{\sqrt{3}}{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot\frac{\!\diagup\!\!\!\!2}{1}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \frac{\sqrt{3}}{1}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \sqrt{3}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 5 = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação. Como não foi enfatizado a forma final, vou deixar a equação em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \sqrt{3}x + (5 - 2\sqrt{3})\end{gathered}$}$