Question

determine a área delimitada pelo eixo x e pela parábola y=6-x-x^2​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas entre curvas.

Seja $R$ a região compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$. A área desta região é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Buscamos a área delimitada pelo eixo $x$ e a parábola $y=6-x-x^2$.

Primeiro, lembre-se que a equação para o eixo $x$ é reta $y=0$. Para encontrarmos o intervalo de integração desta região, igualamos as funções:

$6-x-x^2=0$

Esta é uma equação quadrática completa de coeficientes reais: $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$. Para resolvê-la, utilizamos a fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Substituindo os coeficientes $a=-1,~b=-1$ e $c=6$, teremos:

$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot6}}{2\cdot(-1)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{-2}$

Some os valores e calcule o radical

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{-2}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm5}{-2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{1+5}{-2}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{1-5}{-2}$

Some os valores e calcule as frações

$x=\dfrac{6}{-2}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{-4}{-2}\\\\\\ x=-3~~\bold{ou}~~x=2$

Dessa forma, o intervalo de integração desta região é $[-3,~2]$.

Observe na imagem em anexo que, neste intervalo, $6-x-x^2\geq0$. Dessa forma, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-3}^26-x-x^2\,dx}$

Para resolvê-la, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int 6\,dx-\int x\,dx-\int x^2\,dx~\biggr|_{-3}^2}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{6\cdot\int 1\,dx-\int x\,dx-\int x^2\,dx~\biggr|_{-3}^2}$

Aplique a regra da potência, lembrando que $1=x^0$ e $x=x^1$

$6\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}-\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{-3}^2$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$6x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-3}^2$

Aplique os limites de integração

$6\cdot2-\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{2^3}{3}-\left(6\cdot(-3)-\dfrac{(-3)^2}{2}-\dfrac{(-3)^3}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$12-2-\dfrac{8}{3}-\left(-18-\dfrac{9}{2}+9\right)\\\\\\ \dfrac{22}{3}+\dfrac{27}{2}\\\\\\ \dfrac{44+81}{6}\\\\\\ \dfrac{125}{6}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.