Question

depois de fatorar os termos da fraçao, calcule o seguinte produto sabendo que os denominadores sao diferentes de zero.

Answer 1

Vamos lá.

Sílvia, agora deu pra ler melhor. Estamos entendendo que todas as expressões (numerador e denominador) são funções do 2º grau.
Se for isso mesmo, então teremos o seguinte produto, que vamos chamá-lo de um certo "p", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa:

p = [(x²+2x-15)/(x²+5x-14)]*[(x²+6x-7)/(x²+x-20)]*[(x²-6x+8)/(x²-2x-3)]

Agora veja isto e não esqueça mais: toda equação do 2º grau poderá ser expressa em função de suas raízes. Assim, se temos uma função do 2º grau,da forma: f(x) = ax² + bx + c, com raízes x' e x'', então elas poderão ser expressas da seguinte forma:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'').

Então vamos encontrar as raízes de cada uma das expressões dadas e depois vamos reescrevê-las em função de suas raízes.
Assim, teremos:

i) Para a primeira expressão, que é esta: [(x²+2x-15)/(x²+5x-14)]. Aplicando Bháskara na expressão do numerador e do denominador, vemos que as raízes são estas:
 x²+2x-15 = 0----> raízes: x' = -5; e x'' = 3
e
x²+5x-14 = 0 ---> raízes: x' = -7; e x'' = 2.

Logo, expressando cada uma das equações em função de suas raízes, teremos:

x²+2x-15 = 1*(x-(-5))*(x-3) = 1*(x+5)*(x-3) = (x+5)*(x-3)
x²+5x-14 = 1*(x-(-7)*(x-2) = 1*(x+7)*(x-2) = (x+7)*(x-2)

ii) Para a 2ª expressão,que é esta: [(x²+6x-7)/(x²+x-20)]. --- Aplicando Bháskara, vemos que as raízes do numerador e do denominador são estas:

x²+6x-7 = 0 ----> x' = -7; e x'' = 1
x²+x-20 = 0 ---> x' = -5; e x'' = 4

Logo, cada uma das equações expressas em função de suas raízes serão:

x²+6x-7 = 1*(x-(-7))*(x-1) = 1*(x+7)*(x-1) = (x+7)*(x-1)
x²+x-20 = 1*(x-(-5))*(x-4) = 1*(x+5)*(x-4) = (x+5)*(x-4)

iii) Finalmente, para a e3ª expressão [(x²-6x+8)/(x²-2x-3)] ---- Aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x²-6x+8 = 0 ---> raízes: x' = 2 e x'' = 4
x²-2x-3 = 0 ---> raízes: x' = -1 e x'' = 3

Logo, cada uma das equações, em função de suas raízes serão expressas assim:

x²-6x+8 = 1*(x-2)*(x-4) = (x-2)*(x-4)
x²-2x-3 = 1*(x-(-1))*(x-3) = 1*(x+1)*(x-3) = (x+1)*(x-3).

iv) Agora vamos levar para o nosso produto "p" todas as equações já expressas (todas elas) em função de suas raízes. Assim teremos:

p = [(x+5)*(x-3)/(x+7)*(x-2)]*[(x+7)*(x-1)/(x+5)*(x-4)]*[(x-2)*(x-4)/(x+1)*(x-3)]

Agora faremos o produto de numerador com numerador e de denominador com denominador, ficando da seguinte forma:

p = [(x+5)*(x-3)*(x+7)*(x-1)*(x-2)*(x-4) / (x+7)*(x-2)*(x+5)*(x-4)*(x+1)*(x-3)]

Agora note isto: como se trata de um produto tanto no numerador como no denominador, então poderemos simplificar os que são iguais no numerador e no denominador, ou seja, poderemos dividir "x+5" do numerador com "x+5" do denominador; "x-3" do numerador com "x-3" do denominador; "x+7" do numerador com "x+7" do denominador; "x-2" do numerador com "x-2" do denominador, e finalmente: "x-4" do numerador com "x-4" do denominador.
Assim, fazendo isso, iremos ficar apenas com:

p = (x-1) / (x+1) <---- Esta é a resposta. Ou seja, no final fica apenas (x-1)/(x+1) como resultado de todo o produto inicial, após todas as simplificações feitas.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.