Question

De quantas modos diferentes podemos escrever o número 257 como a soma de dois números naturais primos

Answer 1

0 modos, não tem como.
257 é um número ímpar. Dois números naturais somados só terão como resultado um número ímpar se um deles for par e o outro ímpar.
Dos números primos o único par é o número 2. Logo para dar 257 seria 255 + 2, porém 255 não é primo.

PS:
O resultado da soma de um número par com outro número par será sempre um número par:
ex: 2+2 = 4, 10+20 = 30, 156 + 342 = 498 ...

O resultado da soma de um número ímpar por outro número ímpar será sempre um número par:
Ex: 3+3 = 6, 9+15 = 24 ...

Para o resultado da soma de dois números ser ímpar esses dois números precisam, necessariamente, um ser par e o outro ímpar, mas aí que está o problema. Todos os números primos são ímpares(tirando o 2), não tem como somar dois números ímpares e o resultado ser um número ímpar (ser o 257).
E se você usar o número 2 (pois ele é primo) o outro número que eu tenho que somar ao 2 para dar 257 será o 255 (mas 255 não é primo)
Então não tem como você somar dois números primos que o resultado será 257

entendeu?