Question

Dê o conjunto solução da equação sen x = √2/ 2 ,para 0 < x < 2 rr.

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica

     sen x = (√2)/2

para  x ∈ ]0, 2π[.

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Sabemos que  (√2)/2 = sen(45°) = sen(π/4).  Então, podemos reescrever a equação assim:

     sen x = sen(π/4)


Agora temos uma equação trigonométrica simples (igualdade entre senos). Lembremos que o arco suplementar de  π/4  têm o mesmo seno que ele. Então, a solução para essa situação é

     x = π/4 + k · 2π     ou     x = π – (π/4) + k · 2π

     x = π/4 + k · 2π     ou     x = (4π/4) – (π/4) + k · 2π

     x = π/4 + k · 2π     ou     x = (4π – π)/4 + k · 2π

     x = π/4 + k · 2π     ou     x = 3π/4 + k · 2π

com  k  inteiro.


Como queremos encontrar os valores de  x  que estão no intervalo  ]0, 2π[,  devemos analisar os valores adequados para  k.

•   Para  k < 0,  nenhum dos valores de  x  encontrados caem no intervalo  ]0, 2π[.


•   Para  k = 0,  temos

     x = π/4     ou     x = 3π/4


•  Para  k > 0,  nenhum dos valores de  x  encontrados caem no intervalo  ]0, 2π[.


Portanto, o conjunto solução é

     S = {π/4,  3π/4}.


Bons estudos! :-)