Question

Dado um retângulo PQRS de dimensões 12 cm e 20 cm, marcam-se quatro pontos, como indicado na figura abaixo.a) Determine a área do quadrilátero ABCD para:

a1) x = 5 cm

a2) x = 4,5 cm

b) Escreva a expressão que permite calcular a área y desse quadrilátero em função da medida x.

c) Qual é a variável independente? E a dependente?

Answer 1

Podemos calcular a área do quadrilátero azul subtraindo as áreas dos triângulos formados da área do retângulo. O triângulo PAD é o mesmo que BRC, assim como DSC e AQB, então precisamos calcular a área de PAD e DSC.

a1) Para x = 5 cm, temos que PD = 7 cm (12-x) e PA = 15 cm (20-x) (altura e base) e DS = SC = 5 cm. As áreas de PAD e DSC neste caso são dadas por:

Apad = 7*15/2 = 52,5 cm²

Adsc = 5*5/2 = 12,5 cm²

A área de PQRS é 240 cm², então a área do quadrilátero é:

Aabcd = 240 - 2(Apad) - 2(Adsc)

Aabcd = 240 - 105 - 25

Aabcd = 110 cm²

a2) Da mesma forma, para x = 4,5 cm, temos:

Apad = 7,5*15,5/2 = 58,125 cm²

Adsc = 4,5*4,5/2 = 10,125 cm²

Aabcd = 240 - 2(Apad) - 2(Adsc)

Aabcd = 240 - 116,25 - 20,25

Aabcd = 103,5 cm²

b) Como vimos, a área y é dada por y =  240 - 2(Apad) - 2(Adsc), onde Apad = (12-x)(20-x)/2 e Adsc = x*x/2 = x²/2, então, simplicando, temos:

y = 240 - (12-x)(20-x) - x²

y = 240 - (240-32x+x²) - x²

y = 32x - 2x²

c) A variável independente é x e a variável dependente é y.