Question

Dada a série em anexo, se quero mostrar que ela é decrescente para poder usar o teste da série alternada, posso fazer isso de duas formas:

1° forma:
Considerando $b_{n}= \frac{n}{n^2+1}$
tem-se que
$b_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2+1} \ \textless \ \frac{n}{n^2+1} =b_n$
Portanto a serie é decrescente.

2° forma:
Seja
 $f(x)= \frac{n}{n^2+1} \\ f'(x)= \frac{-2n^2}{(n^2+1)^2} \leq 0$ 
Logo b_n+1 ≤ b_n ∀ n

Sei que o sinal da primeira deriva negativo significa que a função é decrescente, logo, se o sinal de b_n é negativo, então a função é decrescente. Mas, como a partir de b_n ser decrescente concluo que b_n+1 ≤ b_n?

Answer 1

É a própria definição de sequência decrescente que garante isso.

Definição: Uma sequência numérica $b_{n}$ é dita decrescente se

$b_{n+1}<b_{n}$

para todo $n \in \mathbb{N}.$

-------------------------------------------------------------------

Para usar o critério da série alternada sobre a série

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot b_{n}$

temos que avaliar as seguintes hipóteses sobre o fator $b_{n}$ que não tem a alternância de sinal:


$\bullet\;\;\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;b_{n}=0\,;$


$\bullet\;\;$ Existe $n_{0}\in\mathbb{N},$ tal que

$b_{n}\geq 0,$ para todo $n \geq n_{0}\,;$


$\bullet\;\;$ Existe $n_{1}\in\mathbb{N},$ tal que

$b_{n+1}< b_{n},$ para todo $n \geq n_{1}.$


Verificadas as três hipóteses acima, então a série

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot b_{n}$

converge (pelo critério da série alternada ou critério de Leibniz).

-------------------------------------------------------------------------------------

$\bullet\;\;$ Você já mostrou que a sequência

$b_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1}$

é decrescente.


Basta agora, verificar as outras duas hipóteses:

$\bullet\;\;\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;b_{n}\\ \\ =\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{n}{n^{2}+1}\\ \\ \\ =\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\diagup\!\!\!\! n^{2}\cdot \frac{1}{n}}{\diagup\!\!\!\! n^{2}\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)}\\ \\ \\ =\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\\ \\ \\ =\dfrac{0}{1+0}=0\;\;\;\;(\checkmark)$


$\bullet\;\;b_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1}$ é positiva, para todo $n\geq 1\;\;\;\;(\checkmark)$


Portanto, a série

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot \frac{n}{n^{2}+1}$

converge pelo critério da série alternada.