Question

Dada a fatoração, determine o binômio que o gerou:

a) (3m – 10n)(9m2

+ 30mn + 100n2

)

b) (9x + 8)(9x – 8)

c) (13z + 11w)(169x2

– 143zw + 121w2

)

d) (7b2

– 1)(49b8

+ 7b4

+ 1)

e) (5a3

– 4b)(25a6

+ 20a3

b + 16b2

)

f) (15x3

– 4y2

)(15x3

+ 4y²)​

Answer 1

Temos que fatorar os polinômios dados ainda mais, lembrando dos produtos notáveis. Os mais comuns são o trinômio quadrado perfeito e o produto da soma pela diferença. Deixarei um lembrete deles abaixo.

• Trinômio quadrado perfeito:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

• Produto da soma pela diferença:

(a + b)(a - b) = a² + b²

• Soma / Diferença de dois cubos:

(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³

(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³

Assim:

a) (3m – 10n)(9m² + 30mn + 100n²) =  (3m)³ - (10n)³

b) (9x + 8)(9x – 8) = (9x)² - 8²

c) (13z + 11w)(169x² – 143zw + 121w²) = (13z)³ + (11w)³

d) (7b² – 1)(49b⁸ + 7b⁴ + 1) = (7b²)³ - 1³

e) (5a³ – 4b)(25a⁶ + 20a³b + 16b²) = (5a³)³ - (4b)²

f) (15x³ – 4y²)(15x³ + 4y²)​ = (15x³)² - (4y²)²

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Answer 2

As respostas corretas serão, respectivamente:(3m)³ - (10n)³ ; (9x)² - 8² ;  (13z)³ + (11w)³ ;  (7b²)³ - 1³ ; (5a³)³ - (4b)² ; (4y²)².  

Vamos aos dados/resoluções:  

É importante frisar que estamos falando sobre Polinômio (onde n é um número inteiro, x acaba por ser uma variável complexa e an, an-1 .... são números complexos conhecidos por coeficientes). E dessa forma, veremos que existem os trinômios de origem:  

- Quadrado Perfeito ; Soma pela Diferença ; Soma e Diferença de dois cubos e etc.

Portanto:  

Para alternativa a):

(3m – 10n)(9m² + 30mn + 100n²) =  (3m)³ - (10n)³

Para alternativa b):

(9x + 8)(9x – 8) = (9x)² - 8²

Para alternativa c):

(13z + 11w)(169x² – 143zw + 121w²) = (13z)³ + (11w)³

Para alternativa d):

(7b² – 1)(49b⁸ + 7b⁴ + 1) = (7b²)³ - 1³

Para alternativa e):

(5a³ – 4b)(25a⁶ + 20a³b + 16b²) = (5a³)³ - (4b)²

Para alternativa f):

(15x³ – 4y²)(15x³ + 4y²)​ = (15x³)² - (4y²)²

Para saber mais sobre o assunto:  

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espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)