Matemática, perguntado por deise1969, 11 meses atrás

dada a equação de terceiro grau ×^3+2×^2-5×-6=0. Encontre as raízes

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após calcular as raízes da equação cúbica, concluímos que seus valores são respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-3, -1, 2\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

OBSERVAÇÃO 1: Os zeros de toda e qualquer função polinomial são iguais às suas raízes, isto é, são os valores das abscissas dos pontos pertencentes ao gráfico da função cujas ordenadas são nulas.

OBSERVAÇÃO 2: O número de raízes de uma fução será sempre igual ao grau maximo do polinômio que originou a respectiva função. Portanto, toda função cúbica sempre terá 3 raízes.

Sabendo que a função cúbica, em sua forma geral, pode ser montada da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,\:\:\:a\neq0\end{gathered}$}$

Seja a equação cúbica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6 = 0\end{gathered}$}$

Que dá origem à seguinte função cúbica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\b = 2\\c = -5\\d = -6\end{cases}$

Como a referida equação possui todos os termos e não é possível fatorá-la, devemos utilizar a técnica das tentativas. Esta técica nos diz que se uma equação cúbica possuir alguma raiz inteira, esta será o quociente entre o divisor inteiro do coeficiente de "d" pelo divisor inteiro do coeficiente de "a". Para isso, devemos encontrar:

Divisores inteiros de "d":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D_{I_{d}} = \{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}\end{gathered}$}$

Divisores inteiros de "a":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D_{I_{a}} = \{\pm1\}\end{gathered}$}$

Divisores inteiros de "d/a":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D_{I_{d/a}} = \{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}\end{gathered}$}$

Aplicar a técnica das tentativas para encontrar pelo menos uma das raízes inteiras - se possível.

Testando (-1):

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (-1)^{3} + 2\cdot(-1)^{2} - 5\cdot(-1) - 6 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$}$

Portanto, uma das raízes é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' = -1\end{gathered}$}$

Desta forma, podemos dividir o polinômio que representa a função por "x + 1". neste caso temos:

$\Large\begin{array}{r|l}x^{3}+2x^{2} - 5x - 6 &\kern-5pt\underline{~~~~ x + 1~~ \quad}\\\underline{-x^{3} - x^2\,}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:& x^{2}+x - 6\\ x^{2} - 5x\:\:\:\:\:\:\:\:\\\underline{~-x^{2} \:\:- x}\:\:\:\:\:\:\:\:\\-6x - 6\\\underline{6x + 6}\\ 0&\end{array}$