Question

Considerem um ponto P(x,y) cuja a distância ao ponto A(5,3) é sempre duas vezes a distância de P ao ponto B(-4,-2) nessas condições , escrevam uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P

Answer 1

Está na imagem , espero ter ajudado

Answer 2

A equação 3x² + 3y² + 42x + 22y + 46 = 0 deve ser satisfeita para que o ponto P respeite a condição imposta.

Vamos calcular a distância de P a cada um dos outros dois pontos, e depois aplicar a relação proposta entre elas.

A distância de A ao ponto P é dada por:

$d_{P,A} = \sqrt{(x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2}$

Substituindo as coordenadas de P e A, fornecidas no enunciado, teremos:

$d_{P,A} = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2}$

Vamos realizar os mesmo passos para encontrar a distância entre B ao ponto P:

$d_{P,B} = \sqrt{(x_P - x_B)^2 + (y_P - y_B)^2} \\\\d_{P,B} = \sqrt{(x + 4)^2 + (y + 2)^2}$

Pelo enunciado sabemos que a distância entre P e A é duas vezes a distância entre P e B, ou seja:

$d_{P,A} = 2*d_{P,B}$

Substituindo as duas relações encontradas anteriormente, vamos ter:

$\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2} = 2\sqrt{(x + 4)^2 + (y + 2)^2}$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$(\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2})^2 = 2^2(\sqrt{(x + 4)^2 + (y + 2)^2} )^2\\\\(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 4(x + 4)^2 + 4(y + 2)^2\\\\x^2 - 10x + 25 + y^2 - 6y + 9 = 4x^2 + 32x + 64 + 4y^2 + 16y + 16\\\\x^2 + y^2 - 10x - 6y + 34 = 4x^2 + 4y^2 + 32x + 16y + 80\\\\3x^2 + 3y^2 + 42x + 22y + 46 = 0$

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