Question

Considere um triangulo retângulo com hipotenusa medindo 15 cm e um dos catetos medindo 9 cm e as seguintes afirmativas: I. Tem área igual a 54 cm2 . II. A projeção do maior cateto sobre a hipotenusa mede 9 cm. III. A altura em relação à hipotenusa mede 7,2 cm. É correto o que se afirma em: A( ) I e II apenas B( ) II e III apenas C( ) I e III apenas D( ) II apenas E( ) I, II e III

Answer 1

Teorema de pitagoras

a² = b² + c²
15² = b² + 9²
225 - 81 = b²
b = √144
b = 12
Area = 12 . 9 /2 = 54 cm²

Temos
b.c = a . h
12 . 9 = 15.h
h = 12 . 9 / 15
h = 7,2
A projeçao do maior cateto mede 12 cm
Logo a letra é C I e III estao corretos

Answer 2

Vamos lá

Veja, Sidney, que a resolução é simples.
São dadas várias opções para que escolhamos se são corretas algumas afirmativas, a partir da seguinte questão: "Considere um triângulo retângulo com hipotenusa medindo "15"cm e um dos catetos medindo "9"cm.
Bem, como já temos a medida da hipotenusa, a medida de um dos catetos, então chamaremos a medida do outro cateto de "x" cm e aplicaremos Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado). Assim, teremos:

15² = 9² + x²
225 = 81 + x² ---- passando "81" para o 1º membro, teremos:
225 - 81 = x²
144 = x² ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² = 144
x = +-√(144) ----- como √(144) = 12, então teremos que:
x = +- 12 ---- como a medida de um cateto não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

x = 12 cm <--- Esta é a medida do outro cateto.

Bem, agora, vamos responder a cada uma das opções dadas e escolher quais afirmativas são corretas ou não:

I. Tem área igual a 54 cm².
Vamos ver: num triângulo retângulo, a área (A) é encontrada bastando multiplicar os dois catetos e dividir o resultado por "2". Assim, como um cateto é igual a 9cm e o outro cateto é igual a 12cm, teremos:

A = 9*12/2
A = 108/2
A = 54 cm² <---- Esta é a área deste triângulo. Então a opção "I" é correta.

II. A projeção do maior cateto sobre a hipotenusa mede 9cm.
Vamos ver. Se chamarmos a hipotenusa de "a", o cateto menor de "b"; o cateto maior de "c"; a projeção do cateto menor sobre a hipotenusa de "m"; e a projeção do cateto maior sobre a hipotenusa de "n", teremos as seguintes relações:

m + n = a      . (I)
a*m = b²       . (II)
a*n = c²      . (III)

Bem, como já sabemos que a hipotenusa mede 15cm (a = 15) e que o cateto "b" mede 9cm (b = 9), então teremos que:

15*m = 9²
15m = 81
m = 81/15
m = 5,4 cm <--- Esta é a medida da projeção do cateto "b" ( = 9 cm) sobre a hipotenusa (= 15 cm)

E, como sabemos que o cateto "c" mede 12cm, então teremos que:

a*n = c²
15*n = 12²
15*n = 144
n = 144/15
n = 9,6 cm <---- Esta é a medida da projeção do cateto "c" (= 12 cm) sobre a hipotenusa (= 15 cm).

Como m + n = a, então teremos que:
5,4 + 9,6 = 15
15 = 15 <--- Veja que é verdade que a soma das duas projeções é igual à medida da hipotenusa.
Assim, como você viu, nenhuma das projeções (nem a projeção "m" nem a projeção "n") mede 9 cm. Logo, a opção "II" é incorreta.
A propósito, note que só fizemos todos esses cálculos apenas para demonstrar que a projeção do cateto maior sobre a hipotenusa não é de 9cm (mas de 9,6cm). E, para isso, bastaria termos utilizado a relação métrica de: a*n = c², quando encontramos que n = 9,6 cm. Então bastaria isto para dizer que a opção "II" é incorreta. Mas preferimos utilizar todas as três relações métricas pra demonstrar pra você que elas são verdadeiras.

III. A altura em relação à hipotenusa mede 7,2cm.
Vamos ver. Note que, num triângulo retângulo, há a seguinte relação métrica, considerando a hipotenusa, a altura e os dois catetos:

a*h = b*c ----- substituindo "a' por "15", "b" por "9" e "c" por "12", encontraremos "h", que é a altura. Assim:

15h = 9*12
15h = 108
h = 108/15
h = 7,2 cm <----- Esta é a altura deste triângulo. Então a opção "III" é correta.

Agora vamos informar quais são as opções corretas.
Como você viu, então são corretas apenas as opções "I" e "III", o que está na letra "C", que afirma:

C) I e III apenas <--- Esta é a resposta.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.