Question

Considere os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2) e calcule:

a) o produto u.v
b) o produto u x v
c) o ângulo entre u e v

Answer 1

Temos que os vetores u e v são parte do R³, pois eles possuem três componentes.

A) O produto escalar u . v é a multiplicação das componentes x, y e z dos vetores e resulta em um número (escalar).

u . v = (1, 1, 4) . (-1, 2, 2)

u . v = 1 . (-1) + 1 . 2 + 4 . 2

u . v = - 1 + 2 + 8

u . v = 9

O produto escalar de u e v é 9.

B) O produto vetorial de u e v é semelhante ao cálculo da determinante de uma matriz e resulta num vetor que é ortogonal a u e v ao mesmo tempo:

u x v = $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&4\\-1&2&2\end{array}\right]$

u x v = 2i - 4j + 2k + k - 8i - 2j

u x v = - 6 - 6j + 3k

u x v = (-6, -6, 3)

O produto vetorial de u e v é o vetor (-6, -6, 3).

C) O ângulo entre dois vetores pode ser calculado por meio desta equação:

cosθ = $\frac{u . v}{|u| . |v|}$

cosθ = $\frac{9}{ \sqrt{1^2+1^2+4^2} . \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} }$

cosθ = $\frac{9}{3 \sqrt{2} . 3 }$

cosθ = $\frac{9}{9 \sqrt{2} }$

cosθ = $\frac{1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }$

cosθ = $\frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{4} }$

cosθ = $\frac{ \sqrt{2} }{2}$

θ = arc cos $\frac{ \sqrt{2} }{2}$

θ = 45º

O ângulo entre os vetores u e v é de 45º

Obs. 1: Para o cálculo do produto vetorial, é possível usar o método de Sarrus (copiar as duas primeiras colunas da matriz) e realizar as multiplicações cruzadas, só é necessário ter atenção na hora de somar os valores das direções i, j e k;

Obs. 2: É necessário saber que u x v ≠ v x u, pois, digamos que, o vetor produzido em u x v aponta para cima (apenas uma suposição), o vetor produzido por v x u apontaria para baixo, teria o mesmo módulo e a mesma direção, mas o sentido é contrário;

Obs. 3: A função arc cos (arco-cosseno) é uma função que permite que seja encontrado o valor do ângulo entre os vetores, nesse caso, era simples saber que o cosseno de 45º é √2 / 2, só realizamos o procedimento contrário. Realizei essa função na calculadora científica, onde geralmente é encontrada como cos^-1 (função inversa do cosseno);

Obs. 4: A equação usada para encontrar o ângulo entre os vetores é lida como "o produto escalar de u e v sobre o produto dos módulos de u e v".

Caso tenha restado alguma dúvida, pergunte nos comentários e ficarei contente em respondê-la.

Espero ter ajudado.