Question

Considere os pontos (−1, 2, −3) e (2, −1,3).
a) Determine uma equação para reta r que passa por P e Q.
b) Determine um ponto de r distinto de P e de Q.
c) Determine a intersecção da reta r com o plano coordenado Oxz.
Desenvolvimento da questão. Ajuda ae

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$A (−1, 2, −3) \: \: e \: \:B (2, −1,3)$

A partir desses pontos a questão nos indaga três itens que relacionam os mesmos.

• a) Determine uma equação para reta r que passa por P e Q.

Para encontrar a equação da reta "r" que passa por esses dois pontos, devemos primeiro encontrar um vetor diretor para essa reta, para fazer isso basta traçar um vetor do ponto A até o B e trazê-lo para a origem fazendo B - A:

$\vec{AB} = {B-A} \longrightarrow(2,-1,3) - (-1,2,-3) \\ \boxed{\underbrace{\vec{AB} = (3 , \: - 3, \: 6)} _{esse \: \acute{e} \: o \: vetor \: diretor \: da \: reta} }$

Após ter encontrado o vetor diretor, basta pegar um dos pontos dado pela questão e substituir na estrutura de uma equação vetorial de uma reta:

$r( \alpha ) = (2,-1,3) + \alpha.(3,-3,6)$

Vamos determinar também a equação paramétrica da reta, ela é dada basicamente por:

$\begin{cases} x = 2 + 3 \alpha \\ y = - 1 - 3 \alpha \\ z = 3 + 6 \alpha \end{cases}$

Essa é a equação da reta que contempla esses pontos dados no enunciado.

• b) Determine um ponto de r distinto de P e de Q.

Nesse item devemos basicamente substituir algum valor no local de "a" (Alpha), mas antes disso vamos fazer uma expansão da equação vetorial da reta obtida acima:

$r ( \alpha ) = (2,-1,3) + (3 \alpha , - 3 \alpha ,6 \alpha ) \: \: \\ r( \alpha ) = (2 + 3 \alpha , \: - 1 - 3 \alpha , \: 3 + 6 \alpha )$

Pronto, como sabemos o parâmetro "a" (alpha) pertence aos reais, então podemos substituir qualquer valor desse conjunto. Escolherei como valor para "a" (alpha) o número 3, logo:

$r(3) = (2 + 3.3, \: - 1 - 3.3, \: 3 + 6.3) \\ r(3) = (2 + 9, \: - 1 - 9, \: 3 + 18) \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ r(3) = (11, \: - 10, \: 21)}$

Esse é um ponto pertencente a reta.

• c) Determine a intersecção da reta r com o plano coordenado Oxz

O plano Oxz tem valores de x e z, mas o y é nulo, logo vamos substituir esse dado de que y = 0, na na equação paramétrica da reta:

$\begin{cases} x = 2 + 3 \alpha \\ y = - 1 - 3 \alpha \\ z = 3 + 6 \alpha \end{cases}, mas \: Oxz, quer \: dizer \: y = 0 \\ \begin{cases}x = 2 + 3 \alpha \\ 0= - 1 - 3 \alpha \\z = 3 + 6 \alpha \end{cases} \longrightarrow \begin{cases}x = 2+ 3 \\ \alpha = - \frac{1}{3} \\ z = 3 + 6 \alpha \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Note que descobrimos o valor de "a" (alpha), então vamos substituir esse valor nas equações de "x" e "y" e encontrar o valor deles:

$x = 2 + 3 \alpha \longrightarrow x = 2 + 3. \left( - \frac{1}{3} \right) \\ x = 2 - 1 \longrightarrow x = 1 \\ \\ z = 3 + 6 \alpha \longrightarrow z = 3 + 6. \left( - \frac{1}{3} \right) \\ z = 3 - 2\longrightarrow z = 1$

Portanto temos que a interseção é:

$\boxed{ \boxed{r( \alpha ) \: \cap \: Oxz = (1, \: 0, \: 1)}}$

Espero ter ajudado