Question

Considere os pontos (1,2) (3,4). Determine o ponto do primeiro quadrante, sobre a reta =3+2, de modo que o triângulo bc tenha área 5

Answer 1

O único ponto C possível que cumpra todas as regras é C = (2,8).

Como calcular a área entre três pontos no plano xOy?

Sabemos que a área entre os pontos A, B e C, no plano cartesiano, é dada por:

$A = \frac{1}{2} |D| = \frac{1}{2} \left|\begin{array}{rcr}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|$

No nosso caso temos os três pontos:

• A = (1,2);
• B = (3,4);
• C = (xC, yC).

Sabendo que o triângulo terá área de 5 u.a. vamos substituir as coordenadas dos pontos na fórmula da área:

$A = 5\\\\5 = \frac{1}{2} \left|\begin{array}{rcr}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right| \\\\\\\left|\begin{array}{rcr}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right| = 10\\\\\\\left|\begin{array}{rcr}1&2&1\\3&4&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right| = 10\\\\\\|4 + 2x_C + 3y_C - 4x_C - y_C - 6| = 10\\\\|-2x_C + 2y_C - 2| = 10$

Trabalhando com essa expressão modular teremos duas possibilidades:

$-2x_C + 2y_C - 2 = 10\\\\-x_c + y_C - 1 = 5\\\\y_c' = x_c' + 6$

E ainda:

$-2x_C + 2y_C - 2 = -10\\\\-x_C + y_C - 1 = -5\\\\y_C" = x_C" - 4$

Se o ponto C está na reta y = 3x + 2, então suas coordenadas devem ser tais que:

$y_C = 3x_C + 2$

1º Caso: x' e y'

Igualando as duas expressões:

$x_C + 6 = 3x_C + 2\\\\2x_C = 6 - 2 = 4\\\\x_C' = 2$

Substituindo na equação da reta:

$y_C' = 3x_C + 2 = 3*2 + 2 = 8$

2º Caso: x" e y"

Igualando as expressões:

$x_C - 4 = 3x_C + 2\\\\2x_C = -4 - 2 = -6\\\\x_C" = -3$

Substituindo na equação da reta:

$y_C" = 3x_C + 2 = 3*(-3) + 2 = -7$

Como o ponto deve estar no primeiro quadrante, então tomaremos C = (2,8).

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