Question

Considere o triangulo ABC =, sendo A(-2,5), B(-4,-1) e C(4,3). Mostre que o triangulo retangulo é isóceles.

Answer 1

Pede-se para provar que o triângulo de vértices abaixo é retângulo: 

A(-2; -5) 
B(-4; -1) 
C(4; 3) 

Veja: vamos calcular as distâncias AB, AC e BC. Se for retângulo o lado maior será a hipotenusa. E a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado. 
Vamos, então calcular as distâncias: 

A(-2; -5) e B(-4; -1): 

(AB)² = [-4-(-2)]² + [-1-(-5)]² 
(AB)² = (-4+2)² + (-1+5)² 
(AB)² = (-2)² + (4)² 
(AB)² = 4 + 16 
(AB)² = 20 
..............___ 
AB = +-V(20) ---veja que 20 = 2²*5. Então: 
...............____ 
AB = +-V(2²*5) 

Veja: quem está ao quadrado, e está dentro da raiz quadrada, sai de dentro da raiz. Logo: 
................._ 
AB = +-2V(5) 

Mas, como não há medida negativa para o lado de um triângulo, então tomamos apenas a raiz positiva e igual a: 
.............._ 
AB = 2V(5) <---Essa é a medida do lado AB. 

Vamos para o lado AC: 

A(-2; -5) e C(4; 3) 

(AC)² = [4-(-2)]² + [3-(-5)]² 
(AC)² = (4+2)² + (3+5)² 
(AC)² = (6)² + (8)² 
(AC)² = 36 + 64 
(AC)² = 100 
...............____ 
AC = +-V(100) 

AC = +-10 

Mas como não há medida negativa para o lado de um triângulo, então tomamos apenas a raiz positiva e igual a: 

AC = 10 <----Essa é a medida do lado AC 

Finalmente, vamos para o lado BC. 

B(-4; -1) e C(4; 3). Assim: 

(BC)² = [4-(-4)]² + [3-(-1)]² 
(BC)² = (4+4)² + (3+1)² 
(BC)² = 8² + 4² 
(BC)² = 64 + 16 
(BC)² = 80 
...............___ 
BC = +-V(80) ----veja que 80 = 2^4 * 5 = 2²*2²*5. Assim: 
...............______ 
BC = +-V(2².2².5) 

Veja: quem está ao quadrado, e está dentro da raiz quadrada, sai de dentro da raiz. Logo: 
....................._ 
BC = +-2*2V(5) 
................._ 
BC = +-4V(5) 

Mas como não há medida negativa para o lado de um triângulo, então consideramos apenas a raiz positiva e igual a: 
.............._ 
BC = 4V(5) 

Assim, temos que os lados são: 
.............._ 
AB = 2V(5) unidades de medida 
.............._ 
BC = 4V(5) unidades de medida 

AC = 10 unidades de medida. 

Veja que o lado igual a 10 é o maior. Então 10 é a hipotenusa. Assim, segundo Pitágoras, temos: 
................_.............._ 
10² = [2V(5)]² + [4V(5)]² 

100 = 2²*5 + 4²*5 

100 = 4*5 + 16*5 

100 = 20 + 80 

100 = 100 <------OK. Como deu igual, então está provado que o triângulo é retângulo. 

É isso aí. 

OK? 

Answer 2

Aproveitando a deixa de Theusomelo:
Os cálculos estão corretos, porém o triângulo
é retângulo escaleno.
Na própria pergunta, diz que é retângulo.
Abraços.