Question

Considere duas circunferências de raios iguais a 2 tal que, sobrepostas, cada uma passa pelo centro
da outra. A área da região comum a ambas é

Answer 1

Olá

Considere a figura abaixo.

Temos que a área pedida será igual a soma das áreas dos 2 triângulos equiláteros mais a soma dos 4 setores que estão em vermelho.

A área dos 2 triângulos equiláteros será igual a:

$A_t = 2. \frac{2^2 \sqrt{3} }{4} = 2 \sqrt{3}$

Agora, a área dos 4 setores será igual a:

$A_s = 4.( \frac{ \pi 2^2.60}{360} - \frac{2^2 \sqrt{3}}{4})$
$A_s = 4.( \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3})$
$A_s = \frac{8 \pi}{3} - 4\sqrt{3}$

Logo, a área pedida será igual a:

$A_h = \frac{8\pi}{3} -4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
$A_h = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$