Question

Considere a função utilidade de um consumidor U(x,y)=x^2 y, em que x á a quantidade consumida de um produto A, e y é a quantidade consumida de um produto B. Esboce as curvas de nível c=1 e c=2.

Answer 1

A questão trata sobre curvas de nível em funções de duas variáveis, que serão curvas no plano cujo valor U(x,y) é constante.

Curvas de nível

Dada uma função de duas variáveis U(x,y)

$U:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}$

Uma curva de nível é o conjunto de pontos no plano, (x, y), tais que

$U(x,y)=c$

O termo é utilizado na topografia, no caso específico de uma função H(x, y) que retorna a altitude baseado no ponto (x, y) do mapa, as curvas de nível de H são as curvas de nível topográficas. Além disso, há aplicações para curvas de nível em eletroestática para pontos equipotenciais, entre outros.

Visualizando o gráfico de U, uma curva de nível é a curva resultante da intersecção do gráfico de U com um plano y = c, como mostra a segunda figura.

Outro modo de pensar é que as curvas de nível fazem o papel de 'função inversa' de U, criando uma função

$U^{-1}(c): \mathbb{R} \longrightarrow \gamma \subset \mathbb{R}^2$

Uma vez que,

$U(U^{-1}(c)) = \{c\}\\\\ U^{-1}(U(x,y)) = \gamma_c, \hspace{0.3cm} (x,y) \in \gamma_c$

Cujo gráfico é o conjunto de todas as curvas de nível.

Exercício

Dada a função em duas variáveis definida por

$U(x,y) = x^2y$

Queremos encontrar as curvas as quais representem as curvas de nível para c = 1 e c = 2, deste modo,

$U(x,y) = 1 \implies x^2y=1$

$\implies y = \dfrac{1}{x^2}$

Deste modo, a curva de nível para c = 1 é igual ao gráfico da função 1/x² no plano. De forma semelhante, quando c = 2

$U(x,y)=2 \implies x^2y=2$

$\implies y = \dfrac{2}{x^2}$

Em geral, para c genérico, a curva que representa a curva de nível para c é dada por

$U(x,y) = c \implies x^2y=c$

$\implies y = \dfrac{c}{x^2}$

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