Question

Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5,0) e (0,13), determine os focos da elipse

Answer 1

Uma elipse com centro na origem (0,0) pode ser representada pela seguinte equação:

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1 -> quando o eixo maior é paralelo ao eixo x

(y^2 / a^2) + (x^2 / b^2) = 1 -> quando o eixo maior é paralelo ao eixo y

*Obs: o eixo maior é sempre maior que o eixo menor

**Obs: x e y da fórmula são pontos quaisquer da elipse

Temos dois pontos: (5,0) e (0,13)

5 (coordenada x) é menor que 13 (coordenada y). Isso significa que o eixo maior é paralelo ao eixo y. Por isso, vamos utilizar a segunda fórmula:

Em (5,0), descobrir o valor de b

(0^2 / a^2) + (5^2 / b^2) = 1

25 / b^2 = 1
25 = b^2
b = 5

Em (0,13) vamos descobrir o valor de a

(13^2 / a^2) + (0^2 / b^2) = 1

169 / a^2 = 1
169 = a^2
a = 13


Sabemos que em uma elipse, para achar o valor de c, utilizamos a relação: a^2 = b^2 + c^2

169 = 25 + c^2
144 = c^2
c = 12

Isso significa que a distância da origem para cada um dos focos vale 12. Portanto, as coordenadas dos focos serão:

F1 (0, -12)
F2 (0,12)


RESPOSTA: os focos são F1 (0,-12) e F2 (0,12)



Qualquer erro conceitual ou no cálculo pode me corrigir! ;)

Answer 2

Os focos da elipse são os pontos (0, 12) e (0, -12).

A equação geral da elipse com centro na origem e focos no eixo y é:

x²/b² + y²/a² = 1

A coordenada c dos focos (0, c) e (0, -c) é encontrada através do teorema de Pitágoras (a² = b² + c²). A elipse possui passa pelos pontos (5, 0) e (0, 13), sabendo que o centro é a orgiem, então esses pontos são os vértices. A distância entre esses pontos e o centro indica a medida dos eixos. Se o eixo maior está no eixo y, temos:

a = 13

b = 5

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

13² = 5² + c²

c² = 169 - 25

c² = 144

c = 12

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