Question

Conhecendo as propriedades operatorias dos logaritmos,encontre o valor de log2(x+7)(x-1)=2?

Answer 1

Além de conhecer as propriedades operatórias dos logaritmos temos que nos atentar as condições de existência do mesmo.

A base do logaritmo deve ser diferente de um e maior que zero. 

O logaritmando deve ser maior que zero. 

$\mathsf{\ell og_2\underbrace{\mathsf{(x+7)(x-1)}}_{\mathsf{logaritmando}}=2}\\\\\\\mathsf{(x+7)(x-1)\ \textgreater \ 0}$

Temos uma inequação-produto, façamos o estudo do sinal utilizando um quadro-produto (sinais dos fatores e sinal do produto):

$\mathsf{(x+7)\hspace{42}\underline{---~}\underset{\hspace{-7}-7}{\circ}}\underline{~+++~}\underset{1}{\circ}\underline{~+++}_{_\blacktriangleright}}\\\\\mathsf{(x-1)\hspace{42}\underline{---~}\underset{\hspace{-7}-7}{\circ}}\underline{~---~}\underset{1}{\circ}\underline{~+++}_{_\blacktriangleright}}\\\\\mathsf{(x+7)(x-1)\hspace{13}\underline{+++~}\underset{\hspace{-7}-7}{\circ}}\underline{~---~}\underset{1}{\circ}\underline{~+++}_{_\blacktriangleright}}$

De acordo com o quadro-produto o logaritmando é positivo para:

$\mathsf{x\ \textless \ -7~~ou~~x\ \textgreater \ 1}$

Lê-se x menor que menos sete ou x maior que um. 

Agora vamos resolver o logaritmo, os resultados obtidos para x devem atender às condições do logaritmando, que fixamos em  x < -7 ou x > 1.

$\mathsf{\ell og_2\begin{pmatrix}\mathsf{(x+7)(x-1)}\end{pmatrix}=2}\\\\\mathsf{\ell og_2(x^2-x+7x-7)=2}\\\\\mathsf{\ell og_2(x^2+6x-7)=2}$

Use a definição de logaritmo:

$\fbox{ \mathsf{y=\ell og_a(b)~\Leftrightarrow~a^y=b~~~~para~0\ \textless \ a\neq1} }$

Teremos o seguinte:

$\mathsf{\ell og_2(x^2+6x-7)=2~\Leftrightarrow~2^2=x^2+6x-7}\\\\\underbrace{\mathsf{x^2+6x-7=4}}_{\mathsf{eq.~quadr\'atica}}$

Vou resolver a equação quadrática por completamento de quadrados:

$\mathsf{x^2+6x-7=4}\\\\\mathsf{x^2+6x=11}\\\\\mathsf{x^2+6x+3^2=11+3^2}\\\\\mathsf{(x+3)^2=20}\\\\\mathsf{\sqrt{(x+3)^2}=\sqrt{20}}\\\\\mathsf{|x+3|=\sqrt{2^2\cdot5}}\\\\\mathsf{|x+3|=2\sqrt{5}}$

Lembrando da propriedade do módulo dos números reais, para k > 0:

$\mathsf{|x|=k~\Longleftrightarrow~x=k~~ou~~x=-k}$

Temos:

$\mathsf{|x+3|=2\sqrt{5}}~\Longleftrightarrow~\mathsf{x+3=2\sqrt{5}~~ou~~x+3=-2\sqrt{5}}\\\\\\\begin{Bmatrix}\mathsf{x=2\sqrt{5}-3}~\rightarrow~\mathsf{x\approx1.47~~\checkmark}\\\\\mathsf{ou}\\\\\mathsf{x=-2\sqrt{5}-3~\rightarrow~\mathsf{x\approx-7.47~~\checkmark}}\end.$

Ambos os resultados satisfazem a igualdade proposta e às condições de existência do logaritmo.

Conjunto solução:

$\fbox{ \mathsf{S=\begin{Bmatrix}\mathsf{x=-2\sqrt{5}-3~~ou~~x=2\sqrt{5}-3}\end{Bmatrix}} }$