Question

como calcular um número que está elevado a uma potência em forma de fração?​

Answer 1

Uma das formas é decompor a base e simplifica. Por exemplo suponha que você queira calcular o valor da potência

${729}^{0,666... }$

Note que o expoente é uma dízima periódica. Portanto temos que encontrar a geratriz dessa dízima.

Chamando de x a geratriz da dízima periódica temos

$x = 0,666... \times 10 \\ 10x = 6,666...$

Observe que o período das dízimas são iguais portanto vamos subtrair a última igualdade da primeira.

$10x = 6,666... \\ - x = 0,666... \\ 9x = 6 \\ x = \frac{6}{9}$

$x = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} \\ x = \frac{2}{3}$

Substituindo essa fração no lugar da dízima temos :

${729}^{ 0,666...} = {729}^{ \frac{2}{3} }$

Decompondo 729 em fatores primos temos :

729|3

243|3

81|3

27|3

9|3

3|3

1

Portanto 729=3⁶

Substituindo na potência temos

${729}^{ \frac{2}{3}} = { ({3}^{6}) }^{ \frac{2}{3} } = {3}^{6 \times \frac{2}{3} } \\ = {3}^{4} = 81$

Outra definição importante e que é muito utilizada na resolução das equações exponenciais é

${a}^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ {a}^{m} }$

Enfim espero ter contribuído.