Question

Calcule utilizando a fórmula do binômio de Newton:

a) (4 − √2)3 =
b) (1 + √3)4 =
​

Answer 1

A fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton é dado pela seguinte relação:

$\boxed{\boxed{ \sf (a + b) {}^{n} = \sum_{p = 0}^{n} C_{n,p}a {}^{n - p} .b {}^{p} }}$

Onde os elementos "a" e "b" representam o primeiro e o segundo termo do binômio, a letra grega Sigma representa a combinação de todos os números binomiais, "n" representa o expoente do binômio e por fim tem-se o "p" que representa a posição de cada termo. Os números binomiais são calculado através da fórmula da combinação:

$\boxed{ \sf \binom{n}{p} =\frac{n!}{p!(n-p)!}}$

Para desenvolver o binômio através do fórmula de Newton, devemos começar com p = 0 e ir crescendo o seu valor até atingir o mesmo valor do expoente do binômio, já o valor de "n" deve ir decrescendo até atingir "0". Sabendo da teoria, vamos para a prática:

$\sf a) (4 - \sqrt{2} ) {}^{3}$

Substituindo na fórmula:

$\sf (4 - \sqrt{2} ) {}^{3} = \binom{3}{0} 4 {}^3.( \sqrt{2} ) {}^{0} - \binom{3}{1} .4 {}^{2} .( \sqrt{2} ) {}^{1} + \binom{3}{2} .4 {}^{1} .( \sqrt{2} ) {}^{2} - \binom{3}{3} 4 {}^{0}.( \sqrt{2} ) {}^{3} \\ \\ \sf (4 - \sqrt{2} ) {}^{3} = 1.64 - 3.16. \sqrt{2} + 3.4.2 - 1.1.( \sqrt{2} ) {}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf (4 - \sqrt{2} ) {}^{3} = 64 - 48 \sqrt{2} + 24 - 2\sqrt{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf (4 - \sqrt{2} ) {}^{3} = 88 - 50 \sqrt{2}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos fazer a mesma coisa para o item b):

$\sf b)(1 + \sqrt{3} ) {}^{4}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf (1 + \sqrt{3} ) {}^{4} = \binom{4}{0} .1 {}^{4}.( \sqrt{3} ) {}^{0} + \binom{4}{1} .1 {}^{3} .( \sqrt{3} ) {}^{1} + \binom{4}{2} .1 {}^{2} .( \sqrt{3} ) {}^{2} + \binom{4}{3} 1 {}^{1} .( \sqrt{3} ) {}^{3} + \binom{4}{4} .1 {}^{0} .( \sqrt{3} ) {}^{4} \\ \\ \sf (1 + \sqrt{3} ) {}^{4} = 1.1.1 + 4.1. \sqrt{3} + 6.1.3 + 4.1.( \sqrt{3} ) {}^{3} + 1.1.9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf (1 + \sqrt{3} ) {}^{4} = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf (1 + \sqrt{3} ) {}^{4} = 28 + 16 \sqrt{3}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado