Question

calcule:


$\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{\ln x}{x}\, dx\end{gathered}$

Answer 1

A integral indefinida é:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2x}{2}+C\\ \\\end{gathered}$

Para resolver essa integral vamos utilizar o método da substituição, i.e vamos escrever essa função de outra forma até ser uma integral imediata, o método consiste em, se temos a integral:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int f(g(x))g'(x)\,dx\\ \\g(x) = u,\quad g'(x)\,dx = du\\ \\\int f(u)\,du\end{gathered}$

E essa integral em u é mais fácil de resolver que a integral anterior, então se temos a integral:

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{\ln x}{x}\,dx\\ \\\end{gathered}$

Vamos utilizar para a substituição:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ln x = u \Rightarrow \frac{1}{x}\,dx = du\end{gathered}$

Então nossa integral passa a ser:

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int x\frac{u}{x}\,du\\ \\\int u\,du\\ \\\end{gathered}$

A integral de um monômio é imediata:

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \quad n \ne -1\end{gathered} }$

Então integrando o monômio temos:

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C\\ \\\end{gathered} }$

Por fim, voltando a variável original:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2x}{2}+C\\ \\\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Funções em anexo, com a constante de integração C = 0.

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/42267661

brainly.com.br/tarefa/42212392

Answer 2

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm\int\dfrac{\ell nx}{x}\,dx\\\\\underline{\sf fac_{\!\!,}a}\\\rm t=\ell nx\longrightarrow dt=\dfrac{1}{x}\,dx\\\\\displaystyle\rm\int\dfrac{\ell n x}{x}\,dx=\int t\,dt=\dfrac{1}{2}t^2+k\\\\\displaystyle\rm\int\dfrac{\ell n x}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}(\ell nx)^2+k\end{array}}$