Question

Calcule o valor da integral indefinida:

f(x) x¹/² sen (x³/² +1) dx

Answer 1

Integral: $\int x^{ \frac{1}{2} } \cdot sen (x^{\frac{3}{2} } +1) ~dx$

Utilizando o método da substituição, vamos chamar $x^{ \frac{3}{2} }$ de "u". Portanto,
$u= x^{ \frac{3}{2} }$

Derivada de "u" em relação a "x":
$\frac{du}{dx}= \frac{3}{2} x^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \frac{2}{3} du= x^{ \frac{1}{2} } dx$

Substituindo "u" e a relação acima encontrada, teremos,
$\int sen (x^{\frac{3}{2} } +1) \cdot x^{ \frac{1}{2} }~dx = \int sen(u+1) \cdot \frac{2}{3} du \\ \\ = \frac{2}{3} \cdot \int sen(u+1) ~du$

A integral de seno já é conhecida, sendo assim,
$\frac{2}{3} \cdot \int sen(u+1) ~du = - \frac{2}{3} \cdot cos (u+1) + K$

Voltando a variável "x":
$- \frac{2}{3} \cdot cos (u+1) + K= - \frac{2}{3} \cdot cos(x^{ \frac{3}{2}}+1) + K$

Por fim:
$\boxed{\int x^{ \frac{1}{2} } \cdot sen (x^{\frac{3}{2} } +1) ~dx =- \frac{2}{3} \cdot cos(x^{ \frac{3}{2}}+1) + K}$