Question

Calcule o comprimento da curva y = √x³/3 +10 no intervalo [0,10]

Answer 1

o comprimento de arco é dado pela seguinte fórmula:

                          $\boxed{\boxed{L= \int\limits^b_a {\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2 } } \, dx }}$

Vamos calcular a derivada de y.

$y = \sqrt{\frac{x^{3} }{3} } +10 \\\\y' =\frac{d \frac{\sqrt{x^3} }{3} }{dx}+ \frac{d}{dx} 10 \\\\y' = \frac{\sqrt{x}}{2} +0\\\\y' = \frac{\sqrt{x}}{2}$

como sabemos o valor da derivada vamos substituir este.

$L= \int\limits^{10}_ 0{\sqrt{1+(\frac{\sqrt{x}}{2})^2} } \, dx = \int\limits^{10}_0 {\sqrt{1+\frac{x}{4} } } \, dx$

se substituirmos: u = 1+ x/4 , então du = dx.1/4 ;  quando x = 0; u = 1 , quando

x = 10 ; u = $\frac{14}{4}$ .  portanto:

$L=4\int\limits^{\frac{14}{4} }_1 {\sqrt{u} } \, du = 4 . \frac{2}{3} . u^{\frac{3}{2} } |^{\frac{14}{4} }_1 = \frac{8}{3} .[( \frac{14}{4} )^{\frac{3}{2} }- 1^{\frac{3}{2} }]= \frac{8}{3} . 5.54790\dots=14,7944$

.

Resposta: ≈14,7944...