Question

Calcule a soma das raízes da equação:

Answer 1

Como a11 = 1, podemos usar a regra de Chió:
- vamos remover a primeira linha e a primeira coluna da matriz (todos os valores são 1).
- dos elementos que restaram na matriz, vamos agora subtrair de cada um o produto dos dois elementos correspondentes (como o produto 1.1 = 1, temos apenas que subtrair 1 de todos os elementos que restaram).
- com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, com ordem menor, mas cujo determinante é igual ao da matriz original.

det $\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&(2+x)&1&1\\1&1&(3+x)&1\\1&1&1&(1-x)\end{array}\right]$ = 0

det $\left[\begin{array}{ccc}(2+x-1)&(1-1)&(1-1)\\(1-1)&(3+x-1)&(1-1)\\(1-1)&(1-1)&(1-x-1)\end{array}\right]$ = 0

det $\left[\begin{array}{ccc}(1+x)&0&0\\0&(2+x)&0\\0&0&-x\end{array}\right]$ = 0

Agora, pela regra de Sarrus, temos:

(1 + x).(2 + x).(- x) = 0
(1 + x).(- x² - 2x) = 0
- x² - 2x - x³ - 2x² = 0
- x³ - 3x² - 2x = 0

A soma das raízes da equação acima é dada por:
S = - b/a = - (- 3)/(- 1) = - 3.