Question

calcule a derivada da função (x) = x + 1 / x − 1

Answer 1

Após os cálculos realizados concluímos que a derivada função é

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f'(x) = -\: \dfrac{2}{x^{2} -2x + 1} } }$

A derivada é uma ferramenta que utiliza para resolver alguns problemas mais complexo.

A derivada de f é uma nova função, que se representa por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ f' (x) ~~ ou ~ ~\dfrac{d }{dx} } } }$

Algumas regras de derivadas para resolução.

Derivada de uma constante:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} [ k] = 0 } }$

Derivada da função $\textstyle \sf \sf f (x) = x$:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} [ x] = 1 } }$

Derivada da potência:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{d}{dx} [ x^n ] = n \cdot x ^{n-1} } }$

Derivada do quociente:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{u(x)}{v(x)} \right] = \dfrac{ \dfrac{d}{dx} \:[u(x)] \cdot v(x) - u(x) \cdot \dfrac{d}{dx} \:[v(x)] }{ [ v(x) ]^2 } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x) = \dfrac{x+ 1}{x -1} } }$

Primeiramente devemos derivar:

$\large \displaystyle \mathsf{ u(x) = x+ 1 \Rightarrow u'(x) = 1 + 0 = 1 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ v(x) = x- 1 \Rightarrow v'(x) = 1 - 0 = 1 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f'(x) = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{[v(x)]^2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f'(x) = \dfrac{ 1 \cdot ( x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f'(x) = \dfrac{(x- 1) -(x-1) }{x^{2} -2x +1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f'(x) = \dfrac{x-1 - x-1 }{x^{2} -2x +1} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f'(x) = -\: \dfrac{2}{x^{2} -2x + 1} }$

          ou

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f'(x) = -\: \dfrac{2}{(x-1)^2} }$

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