Question

calcular a área do paralelograma definido pelos vetores ,u=(1,2,3) v=(2,1,1)

Answer 1

A área é o módulo do produto vetorial entre u e v:

A = |u x v|


Fazendo o produto vetorial (u x v), que é um vetor (dado pelo determinante da seguinte matriz):

       |  i   j   k |
M = | 1  2  3 |
       | 2  1  1 |


det(M) = (i.2.1 + j.3.2 + k.1.1) - (j.1.1 + i.3.1 + k.2.2)

det(M) = (2i + 6j + k) - (j + 3i + 4k)

det(M) = 2i + 6j + k - j - 3i - 4k

det(M) = 2i - 3i + 6j - j + k - 4k

det(M) = -i + 5j - 3k


Fazendo o módulo deste vetor, temos a área do paralelogramo:

A = |det(M)|

A = √[(-1)² + 5² = (-3)²]

A = √[1 + 25 + 9]

A = √35

Answer 2

✅ Após ter realizado todos os cálculos concluímos que a área "S" do paralelogramo é:

        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \sqrt{35}\:u.a\:\:\:}} \end{gathered} }$

Sejam dados os vetores:

           $\large\begin{cases}\vec{u} = (1, 2, 3)\\\vec{v} = (2, 1, 1) \end{cases}$

Sabendo da geometria que a área "S" do paralelogramo é o produto da base "b" com a altura "h", ou seja:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\bf S = b\cdot h \end{gathered}$

Se:

          $\large\begin{cases}b = \|\vec{v}\|\\h = \|\vec{u}\|\ \cdot sen\: \alpha \end{cases}$

Então, temos:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \|\vec{v}\|\ \cdot \|\vec{u}\|\ \cdot sen\:\alpha \end{gathered}$

            $\large\displaystyle\begin{gathered}= \|\vec{v}\times\vec{u}\|\ \end{gathered}$

Desta forma, a área do paralelogramo é o valor numérico da norma do produto vetorial entre os vetores, ou seja:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \|\vec{v}\times\vec{u}\|\ \end{gathered}$

Calculando o produto vetorial entres os vetores, temos:    $\large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v}\times\vec{u} = \begin{vmatrix} i & j & k\\2 & 1 & 1\\1 & 2& 3\end{vmatrix}\:\begin{matrix}i & j\\2 & 1\\1 & 2 \end{matrix} \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}= i\cdot1\cdot3 + j\cdot1\cdot1 + k\cdot2\cdot2 - j\cdot2\cdot3 - i\cdot1\cdot2 - k\cdot1\cdot1 \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}= 3i + j + 4k - 6j - 2i - k \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}= i - 5j + 3k \end{gathered}$

Então:

       $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \|\vec{v} \times \vec{u}\|\ \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \sqrt{1^{2} + (-5)^{2} + 3^{2}} \end{gathered} }$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{1 + 25 + 9} \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}= \sqrt{35} \end{gathered}$

✅ Portanto, a área do paralelogramo é:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}\bf S = \sqrt{35}\:u.a \end{gathered}$

Saiba mais:

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