Question

Bom dia! Urgente!!!Alguém consegue me ajudar, por favor?Encontre a primitiva da função em cada um dos casos:a) 1/x²b) ((x+2)²)/2c) (x-1)³Obrigada!

Answer 1

Bom dia.

a) Vamos colocar essa fração como uma potência:

$\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$


Agora usamos a seguinte regra:
 
$f(x)=x^n\longrightarrow F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$f(x)=x^{-2}\to F(x)=\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\to \boxed{F(x)=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C}$


b) Se você já tiver visto integrais indefinidas, poderia aplicar uma substituição u = x + 2, mas como não tenho certeza e o expoente é pequeno, podemos expandir. Lembremos agora de mais duas propriedades:

$\diamond\ \ \text{A primitiva de } \bold{kf(x)} \ \acute{e} \ \ \text{kF(x)}\\ \diamond \ \ \text{A primitiva de} \ \bold{k} \ \acute{e} \ \ \text{kx}$


$f(x) = \dfrac{(x+2)^2}{2}=\dfrac{x^2+2x+1}{2}=\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2}$

Agora encontramos a primitiva pela regra dada acima:

$F(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x^{2+1}}{2+1}+\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+\dfrac{1}{2}x + C\\ \\ \\ \boxed{F(x) = \frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+C}$


c) Novamente optarei por expandir:

$f(x)=(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\\ \\ F(x)=\dfrac{x^4}{4}-3\dfrac{x^3}{3}+3\dfrac{x^2}{2}-x+C\\ \\ \\ \boxed{F(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^3+\dfrac{3}{2}x^2-x+C}$


É isso. Observação: Não se esqueça da constante.