Question

As novas placas Mercosul têm três letras seguidas, um número, uma letra e depois mais dois números. Exemplo: AAA 1A11. Considere todas as placas de carros que possuem os mesmos três dígitos. Em quantas delas há exatamente duas letras iguais.

Answer 1

936000 placas terão exatamente duas letras repetidas e três números repetidos.

A permutação que dá esta resposta é (26)*(25)*(24)*10*6 = 936000.

Para obter este número, você precisa analisar as informações dadas no problema.

A primeira informação é que a placa é formada por letras e números.

Para uma casa qualquer, você tem 10 possíveis escolhas de números (0 até 9) ou 26 possíveis escolhas de letras (A até Z).

A segunda informação é que as placas têm o mesmo número.

Isto significa que se o primeiro número da placa for 3, então os demais números serão 3. Exemplo: AAB 3C33.

Em outras palavras, só temos 10 números para escolher. Se os números pudessem ser quaisquer, teríamos 10*10*10 = 1000 números para escolher (de 000 até 999 incluindo 012, 987, 525, ...)

Com estas duas informações, você já sabe o por que de aparecer 26 e 10 em (26)*(25)*(24)*10*6.

26 representa uma letra entre A e Z do alfabeto e 10 repesenta um número entre 0 e 9.

Como os números se repetem (obrigatoriamente), então só existem 10 opções de números.

A terceira informação é que apenas duas das quatro letras se repetem.

Considere o exemplo: AAX 1Y11

Existem 6 formas de combinar as letras desta placa (com X à esquerda de Y):

AAX 1Y11

AXA 1Y11

XAA 1Y11

XAY 1A11

AXY 1A11

XYA 1A11

Isto explica por que aparece o número 6 na multiplicação anterior.

Suponha agora que X representa uma entre das 25 letras que vão de B até Z e que Y representa uma entre das 24 letras que vão de B até Z des de que X$\neq$Y

Então para a letra repetida A e para o número 1, teremos:

AAX 1Y11 = AA(25) 1(24)11*6 onde (25) e (24) representam letras e o número 6 conta quantas formas podemos misturar as letras A, A, X e Y.

Isto explica por que aparecem os números (25) e (24) na multiplicação abaixo:

Total = (26)*(25)*(24)*10*6 = 936000