Question

As funções de receita e custo de uma empresa são dadas por 
R(x)= -x² +(8+ 9)x  e  C(x) = 0,5x + 8+ 1
, onde a variável x representa a quantidade e R e C são representadas em unidades monetárias. Determine o que se pede em cada item: 

a)  O custo para x = 0;  
 
b) A receita para x = 6

c) O(s) ponto(s) de nivelamento entre a receita e o custo; 

d) A função lucro; 

e) O lucro ou prejuízo para  x=1

f) O lucro máximo.

g) O gráfico das duas funções receita e custo no mesmo sistema de eixos; 

h) O gráfico da função lucro;


Obrigada.

Answer 1

Olá, Pricarolo.

R(x) = -x² + (8+9)x = -x² + 17x
C(x) = 0,5x + 8 + 1 = 0,5x + 9

a)  O custo para x = 0: C(0) = 0,5 × 0 + 9 = R$ 9,00
 
b) A receita para x = 6: R(6) = -6² + 17 × 6 = -36 + 102 = R$ 66,00

c) O(s) ponto(s) de nivelamento entre a receita e o custo.

Ponto de nivelamento é o ponto onde a receita iguala o custo, ou seja:

R(x) = C(x) ⇒  -x² + 17x = 0,5x + 9 ⇒ -x² + 16,5x - 9 = 0 ⇒ x² - 16,5x + 9 = 0 ⇒
2x² - 33x + 18 = 0

Resolvendo esta equação de segundo grau com a fórmula de Bhaskara, chegamos a dois valores para x: 
x' = 15,9352 unidades e  x'' = 0,5648 unidades
Estas são as abscissas dos dois pontos de nivelamento. As ordenadas destes dois pontos são, respectivamente, C(x') = R(x') e C(x") = R(x").

d) A função lucro.

Lucro é a diferença entre receita e custo. A função lucro é, portanto:

L(x) = R(x) - C(x) = -x² + 17x - (0,5x + 9) = -x² + 16,5x - 9

e) O lucro ou prejuízo para x = 1: L(1) = -1² + 16,5 × 1 - 9 = -1 + 16,5 - 9 = R$ 6,50 (lucro, pois é positivo).

f) O lucro máximo.

Como a função lucro é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois o termo que acompanha x² é negativo (-1), então o lucro é máximo no vértice da parábola.
A abscissa do vértice, para uma parábola qualquer ax² + bx + c é dada pela fórmula:

$x_{\text{v\'ertice}}=-\frac{b}{2a}$

Como a função lucro é dada por L(x) = -x² + 16,5x - 9, então a abscissa do vértice é igual a:

$x_{\text{v\'ertice}}=-\frac{16,5}{-2}=8,25\text{ unidades}$

O lucro é máximo, portanto, em L(8,25), ou seja:

L(8,25) = -(8,25)² + 16,5 × 8,25 - 9 = -68,0625 + 136,125 - 9 = R$ 59,0625

g) O gráfico das duas funções receita e custo no mesmo sistema de eixos: gráfico em anexo

h) O gráfico da função lucro: gráfico em anexo