Question

Apliquei R$ 10.000,00 a juro composto por um ano. Para diluir o risco, investi uma parte no Banco A, que paga 1,35% a.m., e a outra parte no Banco B, que paga 1,65% a.m. Quanto coube a cada instituição, dado que retornaram o mesmo montante?

Answer 1

     •  Capital total aplicado:  C = R$ 10000,00


     •  Capital aplicado no banco A:  $\mathsf{C_A}$

     •  Taxa de juros do banco A:  $\mathsf{i_A=1,\!35\%~ao~m\hat{e}s}$


     •  Capital aplicado no banco B:  $\mathsf{C_B}$

     •  Taxa de juros do banco B:  $\mathsf{i_B=1,\!65\%~ao~m\hat{e}s}$


     •  Período de aplicação:  n = 1 ano = 12 meses.


Vamos calcular a parcela correspondente ao montante acumulado em cada banco.

     •  No banco A:

        $\mathsf{M_A=C_A\cdot (1+i_A)^n}\\\\ \mathsf{M_A=C_A\cdot (1+0,\!0135)^{12}}\\\\ \mathsf{M_A=C_A\cdot (1,\!0135)^{12}\qquad\quad(i)}$


     •  No banco B:

        $\mathsf{M_B=C_B\cdot (1+i_B)^n}\\\\ \mathsf{M_B=C_B\cdot (1+0,\!0165)^{12}}\\\\ \mathsf{M_B=C_B\cdot (1,\!0165)^{12}\qquad\quad(ii)}$


É informado que ambas as aplicações retornaram o mesmo montante. Logo,

     $\mathsf{M_A=M_B}\\\\ \mathsf{C_A\cdot (1,\!0135)^{12}=C_B\cdot (1,\!0165)^{12}\qquad(iii)}$


Além disso, a soma dos capitais aplicados em cada instituição deve resultar em R$ 10000,00, que é o capital total inicial:

     $\mathsf{C_A+C_B=10000\qquad(iv)}$


Basta resolvermos o sistema formado pelas equações (iii) e (iv):

     $\left\{\begin{array}{lc} \mathsf{C_A\cdot (1,\!0135)^{12}=C_B\cdot (1,\!0165)^{12}}&\qquad\mathsf{(iii)} \\\\ \mathsf{C_A+C_B=10000}&\qquad\mathsf{(iv)} \end{array} \right.$


Isole $\mathsf{C_B}$ na equação (iv) e substitua na equação (iii):

     $\mathsf{C_B=10000-C_A}\\\\\\ \mathsf{C_A\cdot (1,\!0135)^{12}=(10000-C_A)\cdot (1,\!0165)^{12}}\\\\ \mathsf{C_A\cdot (1,\!0135)^{12}=10000\cdot (1,\!0165)^{12}-C_A\cdot (1,\!0165)^{12}}\\\\ \mathsf{C_A\cdot (1,\!0135)^{12}+C_A\cdot (1,\!0165)^{12}=10000\cdot (1,\!0165)^{12}}\\\\ \mathsf{C_A\cdot \big[(1,\!0135)^{12}+(1,\!0165)^{12}\big]=10000\cdot (1,\!0165)^{12}}\\\\ \mathsf{C_A=10000\cdot \dfrac{(1,\!0165)^{12}}{(1,\!0135)^{12}+(1,\!0165)^{12}}}$

     $\mathsf{C_A\approx R\ ~5088,\!66}$        ✔


Logo,

     $\mathsf{C_B=10000-C_A}\\\\ \mathsf{C_B\approx 10000-5088,\!66}$

     $\mathsf{C_B\approx R\ ~4911,\!34}$        ✔


Inicialmente, foram aplicados

     •  R$ 5088,66 no banco A 

     •  R$ 4911,34 no banco B.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)