Question

Alguns marcianos tem 7 antenas outros tem 9. Em uma nave tem 69 antenas, quantos marcianos tem na nave?

Answer 1

Resposta:

Na nave há um total de 9 marcianos, sendo 6 com 7 antenas e 3 com 9 antenas.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão podemos utilizar o conceito de Equação Diofantina do tipo ax + by = c, sabendo que a equação possui soluções inteiras se, e somente se, mdc(a,b) divide c.

Sejam x marcianos com 7 antenas e y marcianos com 9 antenas desse modo podemos montar a seguinte equação:

7x + 9y = 69

Como mdc(7,9) = 1 e 1 | 69 a equação possui soluções inteiras.

A solução geral de uma equação diofantina é dada por:

$\begin{cases}x=x_0+bt\\y=y_0-at\end{cases}$

onde $(x_0,y_0)$ é uma solução particular.

Do mdc podemos escrever:

7.4 + (-3).9 = 1     multiplicando por 69

7.276 + (-207).9 = 69, o par (276,-207) é uma solução particular.

$\begin{cases}x=276+9t\\y=-207-7t\end{cases}$

Como queremos soluções naturais

276 + 9t > 0 e - 207 - 7t > 0

t > - 30,6...      e  t < - 29,5

ou seja, t = - 30

x = 276 - 270 = 6

y = - 207 + 210 = 3

Sabemos agora que existem 6 marcianos com 7 antenas e 3 marcianos com 9 antenas.