Question

Alguém poderia me ajudar a resolver isso?
$\int\limits^1_0 {xln(1+x)} \, dx$

Answer 1

Resposta:

Olá boa tarde!

Utilize a integração por substituição:

$\int\limits {f[g(x)] . g'(x)dx$

Fazendo:

$u = g(x)$

$u' = du$

teremos:

$\int\limits {f(u) . du$

Fazendo u = x + 1 teremos

u'(x) = du/dx = 1

x = u - 1

Reescrevendo a integral:

$\int\limits {(u-1)ln(u)du$

$\int\limits {ln(u)(u-1)du$

Agora aplicamos a regra da cadeia na integral:

$\int\ udv = uv-\int\ u'dv$

$u' = [ln(u)]' = 1/u\\\\v'= \int\ ({u-1}) \, du = \frac{u^2}{2} - u$

Substituindo na expressão da regra da cadeia:

$\ln \left(u\right)\left(\frac{u^2}{2}-u\right)-\int \frac{1}{u}\left(\frac{u^2}{2}-u\right)du$

$I = \ln \left(u\right)\left(\frac{u^2}{2}-u\right)-\left(\frac{u^2}{4}-u\right)$

Como u = x + 1, podemos fazer com os intervalos:

x = 0:

u = 0 + 1

u = 1

x = 1:

u = 1 + 1

u = 2

E realizar o teorema fundamental do cálculo na integral I :

= ln(2) (2 - 2) - (1 - 2) - (ln(1) (1/2 - 1) - (1/4 - 1)

= 0 + 1 - (0 + 3/4)

= 1 - 3/4

= 1/4

Visualize melhor no navegador https://brainly.com.br/tarefa/53597040