(Adptado AAP 2017) deseja-se cercar com muros um terreno retangular utilizando-se de uma parede já existente sabe-se que o comprimento do Muro que será construído para cercar os outros três lados interno deverá ter 36 m de comprimento conforme a figura mostra a seguir .
de acordo com as indicações propostas no enunciado, responda:
A) considerando apenas números inteiros como possíveis medidas, descubra todas as possibilidades das medidas para os três lados do terreno que deverá ser Cercado
B) calcule a área do terreno cercado em cada um dos casos identificados no item a desta questão
C) escreva a função quadratica que representa a área terreno cercado.
D)calcule a medida dos lados que Determine a área máxima para o terreno cercado justifique os valores encontrados .
Soluções para a tarefa
A) As possibilidades serão (x,y) = (1, 34); (2, 32); (3, 30); (4, 28); (5, 26); ; (6, 24); (7, 22); (8, 20); (9, 18); (10, 16) (11, 14); (12, 12); (13, 10); (14, 8); (15, 6); (16, 4) (17; 2).
O valor fixo será de 36 metros de comprimento para o perímetro do muro, de tal forma que as laterais opostas são x e o lado oposto ao muro é y.
x + x + y = 36
2x + y = 36
Como apenas números inteiros são possíveis, temos o seguinte conjunto de medidas que deve atender a equação definida acima.
2x + y = 36
As possibilidades serão (x,y) = (1, 34); (2, 32); (3, 30); (4, 28); (5, 26); ; (6, 24); (7, 22); (8, 20); (9, 18); (10, 16) (11, 14); (12, 12); (13, 10); (14, 8); (15, 6); (16, 4) (17; 2).
B) As áreas serão 34, 64, 90, 112, 130, 144, 154, 160 , 162, 160, 154, 144, 130, 112, 90, 64, 34, para os pontos definidos acima.
O cálculo da área é feito pela seguinte fórmula, multiplicando o comprimento pela largura:
A = x * y = x * (36 - 2x)
A = x * (36 - 2x) = 36x - 2x²
C) A função quadrática será A = 36x - 2x².
D) A área será de 162 m² e os lados serão 9 m e 18 m.
A área máxima ocorre no ponto máximo da parábola, definido em:
x = - b/2a
x = -36 / (2*(-2)) = 36/4 = 9 m
y = 36 - 2x = 36 - 2*9 = 18 m
A área será de 162 m².
Espero ter ajudado!
A área máxima é obtida quando x = 18 e y = 9 tendo 162m² de área.
Considerando que x seja a medida de frente do terreno e y a medida do lado deste, tem-se que:
x + y + y = 36
x + 2y = 36
A) Seja uma solução como o par (x,y). Usando que x + 2y = 36, as soluções para a equação com x e y inteiros positivos são:
(34, 1); (32, 2); (30, 3); (28, 4); (26, 5); (24, 6); (22, 7); (20, 8); (18, 9); (16, 10); (14, 11); (12, 12); (10, 13); (8, 14); (6, 15); (4, 16) e (2; 17).
B) A área do terreno é obtida fazendo o produto entre a base e a altura do retângulo, ou seja, entre x e y. Usando cada par ordenado anterior, temos:
Lados Área
(34, 1) 34 m²
(32, 2) 64 m²
(30, 3) 90 m²
(28, 4) 112 m²
(26, 5) 130 m²
(24, 6) 144 m²
(22, 7) 154 m²
(20, 8) 160 m²
(18, 9) 162 m ²
(16, 10) 160 m²
(14, 11) 154 m²
(12, 12) 144 m²
(10, 13) 130 m²
(8, 14) 112 m²
(6, 15) 90 m²
(4, 16) 64 m²
(2; 17) 34 m²
C) A = xy. Contudo, x + 2y = 36. Logo,
A = (36 - 2y) . y
A = -2y² + 36y
D) A área máxima é obtida encontrando o maior valor da função A(y) = -2y² + 36y.
Derivando e igualando a zero:
A'(y) = -4y + 36 = 0 ⇒ 4y = 36 ⇒ y = 9
Logo, x = 18.
A área máxima é obtida quando x = 18 e y = 9 tendo 162m² de área.
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