Question

A taxa de variação da função f(x,y,z) = ln(x^2+2y^2+3z^2)
no ponto (-1,2,4), na direção v= 2/13i -4/13j-12/13k:

1. -314/741
2. 247/614
3. -308/741
4. -341/614
5. 214/741

Answer 1

A variação na direção de v é:  $\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot \vec{v}$desde que v seja um vetor unitário:

$||\vec{v}||=\sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{-4}{13})^2+(\frac{-12}{13})^2}=\frac{2\sqrt{41}}{13}\approx 0,9850$

Como o vetor não é unitário, vamos dividí-lo por esse valor:

$\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}=(\frac{2}{13}.\frac{13}{2\sqrt{41}},\,\frac{-2}{13}.\frac{13}{2\sqrt{41}},\,\frac{-12}{13}.\frac{13}{2\sqrt{41}})=(\frac{1}{\sqrt{41}},\,\frac{-2}{\sqrt{41}},\,\frac{-6}{\sqrt{41}})$

Calculando o vetor gradiente:

$\nabla f(x_0,y_0,z_0)=(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z})=(\frac{2x}{x^2+2y^2+3z^2},\;\frac{4y}{x^2+2y^2+3z^2},\;\frac{6z}{x^2+2y^2+3z^2})$

Por fim, calculando a derivada direcional:

$\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot \vec{v}=(\frac{2x}{x^2+2y^2+3z^2},\;\frac{4y}{x^2+2y^2+3z^2},\;\frac{6z}{x^2+2y^2+3z^2})\cdot (\frac{1}{\sqrt{41}},\,\frac{-2}{\sqrt{41}},\,\frac{-6}{\sqrt{41}})$

Em (-1, 2, 4):

$(\frac{2(-1)}{(-1)^2+2(2)^2+3(4)^2},\;\frac{4(2)}{(-1)^2+2(2)^2+3(4)^2},\;\frac{6(4)}{(-1)^2+2(2)^2+3(4)^2})\cdot (\frac{1}{\sqrt{41}},\,\frac{-2}{\sqrt{41}},\,\frac{-6}{\sqrt{41}})\\\\(\frac{-2}{57},\;\frac{8}{57},\;\frac{24}{57})\cdot (\frac{1}{\sqrt{41}},\,\frac{-2}{\sqrt{41}},\,\frac{-6}{\sqrt{41}})\\\\\frac{-2}{57\sqrt{41}}-\frac{16}{57\sqrt{41}}-\frac{144}{57\sqrt{41}}\\\\\frac{-162}{57\sqrt{41}}$

Há algum erro no gabarito da questão.