Matemática, perguntado por emilyguadalupy, 11 meses atrás

a soma dos cinquenta primeiros termos de uma PA na qual A6 + a45 = 160 é?​

Soluções para a tarefa

Respondido por davidjunior17
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Resposta:

 \large{\boxed{\boxed{ \mathsf{S_{50}  = 4000}}}}}

Explicação passo-a-passo:

Uma progressão aritmética de  n termos ,com~(n \in \mathbb{N}^*) , dada por  (a_1, a_2 , a_3 , a_4 , \dots , a_n) sendo  n um número par  (n = 2k; k \in \mathbb{N}: k \geqslant 2) ou ímpar  (n = 2k - 1; k \in \mathbb{N};k \geqslant 2) a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante, e é igual à soma dos termos extremos  a_1 e  a_n, matematicamente,

  • Se  n for par

 \mathsf{S} = a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = a_{\frac{n}{2}} + a_{ \frac{n + 2}{2} }

  • Se  n por ímpar

 \mathsf{S} = a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = a_{\frac{n-1}{2}} + a_{ \frac{n + 3}{2} }

Deste modo, a soma dos 50 primeiros termos de uma PA (a_1, a_2 , a_3 , a_4 , \dots , a_{50}) , na qual  a_6 + a_{45} = 160 será,

 \mathsf{S_n} = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2}

 \mathsf{S_{50}} = \dfrac{(a_1 + a_{50})*50}{2}

 \mathsf{S_{50}} = 25(a_1 + a_{50})

Observando atentamente as observações indicadas acima pode-se concluir que,

 \green{a_1 + a_{50}} = a_2 + a_{49} = a_3 + a_{48} =

 = a_4 + a_{47} = a_5 + a_{46} = \green{a_6+ a_{45}} = 160

Deste modo,

 \mathsf{S_{50}} = 25(a_1 + a_{50})

 \mathsf{S_{50}} = 25(a_6 + a_{45})

  \mathsf{S_{50}} = 25(160)

  \mathsf{S_{50}}  = 4000

Resposta: A soma dos cinquenta primeiros termos de uma PA na qual a₆ + a₄₅ = 160 é 4000.

Espero ter colaborado!)

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