Question

A soma de três termos de uma PA decrescente é 27 e seu produto é 720. Então o primeiro termo é:

Answer 1

PA(x - r , x , x + r)

x - r + x + x + r = 27
3x = 27
x = 27/3
x = 9

9.(9 - r).(9 + r) = 720
9.(9² - r²) = 720
9.(81 - r²) = 720
729 - 9r² = 720
9r² = 729 - 720
9r² = 9
r² = 9/9
r² = 1
r = ±√1

r' = 1 (nao convem)
r" = - 1

PA(9 - (- 1) , 9 , 9 + (- 1))
PA(9 + 1 , 9 , 9 - 1)
PA(10,9,8)

R.: O primeiro termo é 10

Answer 2

Para resolvermos essa questão precisamos saber a fórmula de PA:
aₓ = a₁ +- R(x-1)
Como a soma dos três termos é 27 temos que:
a₁ + a₂ + a₃ = 27
a₁ + (a₁ - R(2 - 1)) + (a₁ - R(3-1)) = 27
a₁ + a₁ + a₁ - R - 2R = 27
3a₁ - 3R = 27
a₁ - R = 9 --> -R = 9 - a₁ (I)
Como o produto desses números é 720 temos que:
a₁.a₂.a₃ = 720
a₁.(a₁ - R).(a₁ - 2R) = 720 (II)
Agora substituímos I em II:
a₁.(a₁ + 9 - a₁).(a₁ + 2(9 - a₁)) = 720
a₁.9.(a₁ + 18 - 2a₁) = 720
a₁(-a₁ + 18) = 80
-a₁² + 18a₁ = 80 --> a₁² -18a₁ + 80 = 0
Temos então uma equação de 2º grau. Sejam x e y as raízes da equação:
x + y = 18
x.y = 80
Deduzimos que as raízes da equação são 8 e 10.
Entretanto ao usarmos 8 como primeiro termo teremos um PA crescente:
a₁ - R = 9
8 - R = 9
R = 1
Ao usarmos 10 teremos uma PA decrescente:
a₁ - R = 9
10 - R = 9
R = -1
Logo, o primeiro termo dessa PA é 10.