Question

A soma das soluções da equação trigonométrica cos 2x + 3 cos x = -2 , no intervalo [ 0 , 2 π [ , é:

A) π
B) 2π
C) 3π
D) 5π/3
E) 10π/3​

Answer 1

Resposta: alternativa C) 3π.

Explicação passo a passo:

Resolver a equação trigonométrica

$\cos 2x+3\cos x=-2\qquad\mathrm{(i)}$

para $x\in [0,\,2\pi[\,.$

Aplicaremos uma das identidades para o cosseno do arco duplo:

$\cos 2x=2\cos^2 x-1\qquad\mathrm{(ii)}$

Substituindo, a equação (i) fica

$\Longleftrightarrow\quad (2\cos^2 x-1)+3\cos x=-2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cos^2 x-1+3\cos x+2=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cos^2 x+3\cos x+1=0\qquad\mathrm{(iii)}$

Faça a seguinte mudança de variável:

$\cos x=y,\quad\mathrm{com~}-1\le y\le 1$

e a equação (iii) se torna uma equação do 2° grau na variável y:

$\Longrightarrow\quad 2y^2+3y+1=0\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\\ c=1\end{array}\right.$

Resolvendo pela fórmula resolutiva de Báscara:

$\Delta=b^2-4ac\\\\ \Longrightarrow\quad\Delta=3^2-4\cdot 2\cdot 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad\Delta=9-8\\\\ \Longleftrightarrow\quad\Delta=1$

$\Longrightarrow\quad y=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ \Longrightarrow\quad y=\dfrac{-3\pm \sqrt{1}}{2\cdot 2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-3\pm 1}{4}$

$\begin{array}{lccc}\Longleftrightarrow\quad & y=\dfrac{-3-1}{4}&~~\mathrm{ou}~~&y=\dfrac{-3+1}{4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad & y=\dfrac{-4}{4}&~~\mathrm{ou}~~&y=\dfrac{-2}{4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad & y=-1&~~\mathrm{ou}~~&y=-\,\dfrac{1}{2}\end{array}$

Substituindo de volta $y=\cos x,$ temos

$\begin{array}{lccc}\Longrightarrow\quad & \cos x=-1&~~\mathrm{ou}~~&\cos x=-\,\dfrac{1}{2}\\\\ \Longrightarrow\quad & x=\pi&~~\mathrm{ou}~~& x\in\left\{\dfrac{2\pi}{3},\,\dfrac{4\pi}{3}\right\}\end{array}$

Logo, o conjunto solução para a equação é

$S=\left\{\dfrac{2\pi}{3},\,\pi,\,\dfrac{4\pi}{3}\right\}$

e a soma pedida é

$\dfrac{2\pi}{3}+\pi+\dfrac{4\pi}{3}\\\\\\ =\dfrac{2\pi+3\pi+4\pi}{3}\\\\\\ =\dfrac{9\pi}{3}\\\\\\ =3\pi\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta:~alternativa~C).}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)