Question

A soma das soluções da equação 2cos² x – 2 sen² x – 1 = 0 no intervalo [0, 2] é:
a) 11π/6
b) 3π
c) 4π
d) 23π/6
e) 1

Answer 1

Relembrando o arco dobro do cosseno :

$\text{Cos(2x)} = \text{Cos}^2(\text x) - \text{Sen}^2(\text x)$

Na questão o ângulo está no seguinte intervalo :

$\text x = [0,2\pi] \to \boxed{0 \leq \text x \leq 2\pi }$

Temos a expressão :

$2.\text{Cos}^2(\text x) - 2.\text{Sen}^2(\text x) -1 = 0$

$2.[\text{Cos}^2(\text x) - \text{Sen}^2(\text x)] =1$

$\displaystyle \text{Cos}^2(\text x) - \text{Sen}^2(\text x) =\frac{1}{2}$

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\frac{1}{2}$

temos que analisar o cosseno do ângulo 2x, porém o intervalo indicado é x. Então vamos multiplicar todo o intervalo por 2:

$0 \leq \text x \leq 2\pi \to \boxed{0 \leq 2\text x \leq 4\pi }$ ( duas voltas )

Analisando :

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\frac{1}{2}$

O Cosseno é positivo no 1º e no 4º quadrantes, logo :

1ª volta ( até $2\pi$ ) :

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\frac{1}{2}$

1º quadrante :

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\text{Cos}(\frac{\pi}{3})$

$\displaystyle 2\text x = \frac{\pi}{3} \to \boxed{\text x = \frac{\pi}{6}}$

4º quadrante :

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\text{Cos}(2\pi - \frac{\pi}{3})$

$\displaystyle 2\text x =2\pi - \frac{\pi}{3}$

$\displaystyle 2\text x =\frac{5\pi}{3} \to \boxed{\text x = \frac{5\pi}{6}}$

2ª volta ( até $4\pi$ ) :

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\frac{1}{2}$

1º quadrante :

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\text{Cos}(2\pi + \frac{\pi}{3})$

$\displaystyle 2\text x = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\displaystyle 2\text x = \frac{7\pi}{3} \to \boxed{\text x = \frac{7\pi}{6}}$

4º quadrante :

$\displaystyle \text{Cos(2x)} =\text{Cos}(2\pi + \frac{5\pi}{3})$

$\displaystyle 2\text x =2\pi + \frac{5\pi}{3}$

$\displaystyle 2\text x =\frac{11\pi}{3} \to \boxed{\text x = \frac{11\pi}{6}}$

Somando as soluções :

$\displaystyle \text S = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{17\pi}{6} + \frac{11\pi}{6}$

$\huge\boxed{\displaystyle \text S = 4\pi }$

Letra C