Question

A .mostre que x= 1 é raiz da equação P(x) = 0 B Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x-1.

Answer 1

A) Para mostrar que x= 1 é raiz da equação P(x) = 0 primeiro devemos considerar que a questão considera o seguinte polinômio (faltou este pedaço do enunciado):

P(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 5x³ - 11x² - 7x + 12

O primeiro procedimento é substituir o x por 1 em P(x):

P(1) = 3 · 1⁵ - 2 · 1⁴ + 5 · 1³ - 11 · 1² - 7 · 1 + 12

P(1) = 3 - 2 + 5 - 11 -7 + 12

P(1) = 0

Como o resultado deu zero, significa que P(x) pode ser fatorado e um dos fatores é x - 1, ou seja, o polinômio é divisível por x - 1.

Desta forma, podemos escrever que:

P(x) ≡ (x - 1) · Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x - 1).

B) Para calcular o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x-1, como P(x) apresenta grau 5 e será dividido por (x-1), que apresenta grau 1, podemos identificar que o quociente da divisão (chamado de "Q(X)") será um polinômico com grau 4, que pode ser escrito na seguinte forma geral:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Portanto, devemos ter a seguinte identidade:

3x⁵ - 2x⁴ + 5x³ - 11x² - 7x + 12 ≡ (x - 1) · (ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e)

Ao realizar as operações expressas no segundo membro, temos que:

3x⁵ - 2x⁴ + 5x³ - 11x² - 7x + 12 ≡ ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex - ax⁴ - bx³ - cx² - dx - e

Para facilitar a visualização das correspondências, podemos agrupar os termos semelhantes do segundo membro da seguinte forma:

3x⁵ - 2x⁴ + 5x³ - 11x² - 7x + 12 ≡ ax⁵ + (b - a)x⁴ + (c - b)x³ + (d - c)x² + (e - d)x - e

Agora podemos igualar (por comparação) os coeficientes dos termos com o mesmo grau nos dois membros da identidade:

do x⁵ igualamos que: 3 = a

do x⁴ igualamos que: - 2 = b - a ⇒ - 2 = b - 3 ⇒ - 2 + 3 = b ⇒ b = 1

do x³ igualamos que: 5 = c - b ⇒ 5 = c - 1 ⇒ 5 + 1 = c ⇒ c = 6

do x² igualamos que: - 11 = d - c ⇒ - 11 = d - 6 ⇒ - 11 + 6 = d ⇒ d = -5

do x igualamos que: - 7 = e - d ⇒ - 7 = e - (-5) ⇒ - 7 - 5 = e ⇒ e = - 12

por fim,  igualamos que: 12 = - e ⇒ e = -12

Dessa forma, como sabemos que Q(x) apresenta grau 4 e temos os valores de "a" a "e", podemos obter o quociente da divisão de P(x) pelo binômio (x - 1), à qual chegamos à conclusão de que é: Q(x) = 3x⁴ + x³ + 6x² - 5x - 12

Espero ter ajudado!